§ 25. ОДНО НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ КРИВОЙ

Пусть замкнутая кривая длины лежащая в шаре радиуса Установим найденное в работе [31] следующее неравенство:

Пусть радиус-вектор кривой и натуральный репер. Обозначим Умножив уравнения Френе скалярно на получим

Пусть некоторое постоянное число. Пользуясь замкнутостью кривой, можно записать

Если кривая лежит в шаре радиуса то Положим

Тогда можно получить

Подставляя (3) в (2), мы получаем доказываемое неравенство (1). Так как то из неравенства (1) следует неравенство, содержащее только длину, кривизну и кручение:

Заметим, что неравенство (1) в одних случаях более точное, а в других случаях менее точное, чем неравенство

получаемое интегрированием тождества