§ 14. АНАЛОГИ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ ДЛЯ ЛОМАНОЙ ЛИНИИ

Рассмотрим ломаную линию составленную из отрезков Вместо кривизны и кручениярегулярной кривой для ломаной линии мы определим две последовательности углов: .

Возьмем два последовательных отрезка Будем считать отрезки векторами с началом в точке и концом в Можем также считать, что два взятых друг за другом отрезка не лежат на одной прямой. Следовательно, они определяют плоскость и ориентацию в ней. Угол определим как угол между векторами и отсчитываемый от в положительном направлении согласно ориентации в этой плоскости. Тогда должны выполняться неравенства

Ориентированная плоскость, проходящая через векторы определяет единичную нормаль Определим угол как угол между при этом ориентацию в плоскости векторов будем задавать ортогональным ей вектором Угол будем отсчитывать в положительном направлении согласно этой ориентации. Тогда Будем называть углами кривизны, а углами кручения.

Нетрудно установить утверждение, аналогичное теореме об однозначной определенности регулярной кривой ее кривизной и кручением.

Пусть заданы три последовательности чисел: такие, Пусть в пространстве заданы точка проходящая через нее ориентированная плоскость а и направление отрезка Тогда в пространстве существует единственная ломаная с отрезками длины углами кривизны углами кручения

Будем строить ломаную; последовательно добавляя звенья. В заданном направлении отрезка отложим от точки отрезок длины Конец его обозначим и от этой точки под углом к отрезку в плоскости а отложим отрезок длины Конец этого отрезка обозначим Так как плоскость, проходящая через отрезки определена, то определен вектор В плоскости с нормалью вектор повернем на угол Получим вектор а значит, и плоскость, в которой должен лежать следующий отрезок Продолжаем это построение для следующих звеньев. Единичный вектор, идущий по отрезку обозначим Тогда для каждого мы определяем

Таким образом, пространстве определяется ломаная, имеющая заданные