§ 20. КРИВЫЕ С ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛОЙ ПРОЕКЦИЕЙ

Цилиндром будем называть поверхность, образованную параллельным переносом прямой вдоль некоторой кривой у. Кривая назьюается направляющей. В качестве кривой у возьмем плоскую кривую, лежащую в плоскости х, у, а прямолинейную образующую будем считать параллельной оси

Рассмотрим регулярные кривые, лежащие на каком-либо заданном цилиндре. Пусть уравнение плоской кривой длина ее дуги, постоянный единичный вектор, направленный по образующей цилиндра. Кривую на цилиндре можно записать в виде

где - третья координата точки кривой. Обозначим через

кривизну у. Запишем кручение к кривой Г:

где штрихами обозначены производные по Если у — угол, который составляет касательная к с некоторым фиксированным направлением в плоскости кривой , то Будем считать, что т. е. кривая у локально выпукла. Примем угол за параметр на и будем считать функцией от у, т. е. Запишем выражение к через функцию Имеем

Используя эти выражения и (1), получаем

Применим эту формулу для исследования поведения кривой. Рассмотрим, в каком случае кривая бесконечной длины с кривизной и кручением имеющая локально выпуклую проекцию, не ограничена в пространстве? Заметим, что кривая не обязана подниматься монотонно вверх по цилиндру, как винтовая линия, даже если ее кручение положительно и ее проекцией является выпуклая кривая. Например, криваях имеет бесконечно много локальных максимумов и минимумов компоненты . В то же время ее кручение

Имеет место установленная в работе [5]

Теорема. Регулярная кривая бесконечной длины с кривизной и кручением имеющая замкнутую строго выпуклую проекцию не ограничена в пространстве.

Прежде всего заметим, что из условия выпуклости кривой следует, что кривая не касается образующей цилиндра. В противном случае в точке касания плоскость векторов параллельна плоскости х, у и проекция кривой имеет точку возврата в точке касания, что невозможно. Поэтому является регулярной функцией. Запишем (2) в виде

Из теории дифференциальных уравнений следует, что можно представить так:

где произвольные постоянные. Начало координат поместим в точку кривой у. Координаты радиус-вектора можно записать в виде

где другое обозначение длины дуги у. Пусть длина всей кривой у. Положим Заметим, что Так как кривая у замкнута, приращение координаты кривой после однократного обхода кривой у будет таким:

Если угол, составляемый радиус-вектором с осью х, то Из условия выпуклости кривой следует, что Можем окончательно записать

где площадь области на плоскости, ограниченной кривой у. Покажем теперь, что если имеет бесконечную длину, и ее проекция имеет ограниченную сверху кривизну то проекция тоже имеет бесконечную длину. Это утверждение следует из леммы.

Лемма. Если кривая имеет локально выпуклую проекцию с кривизной и длиной дуги то

Для доказательства проведем дальнейшие преобразования выражения (2):

Заметим, что элемент длины дуги Умножим правую и левую части (4) на и проинтегрируем по Если точки кривой и соответствующие точки кривой у, то получим

Выше мы показали, что регулярная функция. Поэтому отсюда следует неравенство (3).

Так как имеет бесконечную длину и Следовательно, число обходов замкнутой кривой у стремится к бесконечности, а поэтому и приращение координаты стремится к бесконечности, т.е. кривая ограничена в пространстве.

Рассмотрим теперь кривую имеющую локально выпуклую проекцию. Оказывается, что в этом случае можно построить пример замкнутой кривой с Этот пример мы построим ниже. Однако если постоянная велика, а именно то такой пример невозможен. Имеет место

Теорема. Пусть кривая бесконечной длины регулярно проектируется в локально выпуклую кривую у с кривизной удовлетворяющей неравенствам и кручением Тогда кривая не ограничена в пространстве.

Заметим, что число 1/2 для безразмерной величины является в некотором роде критическим. Если то на развертке цилиндра кривая будем иметь не более двух точек перегиба и функция вторая производная компоненты по длине дуги при достаточно больших не меняет знак. Если же где сколь угодно малое число, то функция может быть осциллирующей. Например, кривая на

круговом цилиндре имеет кручение минимум которого при малом мало отличается от 1/2. Функция пропорциональная осциллирует.

Покажем, что найдется такое что при функция изменяется монотонно. Действительно, если бы на кривой существовали две точки в которых то, применяя (5), получаем

Так как то на отрезке функция

Поэтому либо на всем луче функция либо существует самая правая точка из множества тех точек, где Из монотонности на луче вытекает, что функция при достаточно больших значениях сохраняет знак. Рассмотрим отрезок X кривой, на которой сохраняет знак. Из неравенства

примененного к отрезку X, получим

где приращение на отрезке Так как отрезок X можно взять бесконечной длины, то т. е. кривая не ограничена в пространстве.

Построим теперь замкнутую кривую с локально выпуклой проекцией и с кручением Определим функции

где X - рациональное число такое, что Кривую определим равенствами

Если X - рациональное число и , то компоненты радиус-вектора будут периодическими кривыми. Нетрудно найти,

что

Отсюда видно, что при величина больше некоторого положительного числа.