§ 31. ПОЛИНОМ АЛЕКСАНДЕРА

Группа узла является чрезвычайно мощным инвариантом, однако определение изоморфности двух групп само по себе представляет трудную проблему. Более того, общая проблема изоморфизма групп неразрешима. В ряде случаев вопрос о различении двух узлов может решаться с помощью числовых инвариантов — коэффициентов, и степени полинома Дж. Александера. Этот полином может быть найден с помощью группы узла, но мы дадим здесь изложение этого вопроса с геометрической точки зрения, следуя в основном [36].

Будем говорить, что два узла имеют один и тот же тип в том и только в том случае, когда один преобразуется в другой с помощью конечной последовательности следующих элементарных преобразований. На любом ребре узла можем построить треугольник такой, что область, ограниченная этим треугольником, не содержит точек узла. Заменим ребро на два ребра и Можем сделать и обратную операцию. Операция деления отрезка на два отрезка и точкой этого отрезка может рассматриваться как частный, но вырожденный случай предыдущей операции. Каждое описанное здесь преобразование будем назьюать элементарной деформацией.

Рассмотрим, как и выше, диаграмму узла — проекцию узла у на плоскость, причем такую, что через каждую точку самопересечения проходит лишь две ветви кривой.

Рис. 45

Рис. 46

Ориентированную проекцию, обход которой соответствует обходу узла у, будем назьюать диаграммой узла. Областями диаграммы назовем области на плоскости, ограниченные ветвями проекции, т.е. кривыми, идущими из одной точки самопересечения до другой. Точки самопересечения назовем вершинами диаграммы.

С каждой областью диаграммы свяжем определенное целое число которое назовем индексом этой области и которое установим

по следующему правилу. Если при движении вдоль диаграммы в положительном направлении область, расположенная справа, имеет индекс то область, расположенная слева, имеет индекс Индекс одной области можем взять произвольно, но затем индексы всех оставшихся областей определим по указанному выше правилу. Покажем, что это действительно можно сделать. Рассмотрим углы вокруг вершины диаграммы. Легко проверить, что к вершине диаграммы подходят области с индексами Рассмотрим некоторую область а диаграммы, и пусть ее вершины. Пусть индекс области а есть Припишем последовательно углам при вершинах индексы согласно указанному правилу. При этом область граничащая с а по отрезку получит индекс или как на рис. 46, если при движении по в выбранном на у направлении область остается слева, или в противном случае. Пусть, например, индекс области есть Допустим, эта область граничит с а еще по другому отрезку причем при движении по в положительном направлении эта область остается справа, как изображено на рис. 46, т.е. ей надо также приписать индекс Возьмем две точки Существует кривая соединяющая точки внутри области не пересекающая в других точках диаграмму. Обозначим через о конечную область, ограниченную кривой и частью границы а. Направленные отрезки и оба одновременно либо входят в область а, либо, как изображено на рис. 46, выходят из этой области. Для определенности будем считать, что они выходят. Но, выходя из точки К вдоль и двигаясь затем вдоль всей диаграммы, мы должны пройти через точку С и затем через отрезок так как диаграмма - замкнутая кривая. Это невозможно сделать, не пересекая кривую Следовательно, область не может иметь два различных индекса

Аналогичное доказательство приводится и в том случае, если область подходит к а в точке С углом а в другой точке К - либо стороной либо углом и индексы в этих углах различны. Таким образом, можно без противоречия приписать индекс каждой области при вершинах Перейдем далее к следующей области уже получившей некоторый индекс. Рассматривая эту область вместо а, предпишем каждому углу в ее вершинах по указанному правилу определенный индекс. Переходя от области к области, мы исчерпаем все области диаграммы.

В вершине диаграммы всегда имеются два угла с одинаковым индексом Будем приписывать этой вершине индекс Для того чтобы отметить, какая ветвь в вершине проходит ниже, чем другая, мы вместо разрывов, как раньше, будем ставить точки в углах. Место точек будем выбирать таким образом, что, двигаясь в

положительном направлении вдоль нижней ветви и проходя через точку пересечения, будем иметь слева два угла, отмеченные точками (рис. 47).

Составим теперь уравнения узла. Пусть диаграмма имеет вершин: Тогда по теореме Эйлера имеется областей диаграммы, которые мы занумеруем произвольно: Каждой вершине поставим в соответствие уравнение. Будем обходить вершину против движения часовой стрелки. Пусть первый угол, отмеченный точкой, будет второй угол - и два неотмеченных угла будут последовательно Тогда вершине соответствует уравнение

Запишем систему таких уравнений для каждой вершины диаграммы.

Рис. 47

Рис. 48

Например, для диаграммы на рис. 48 получим систему уравнений

Рассматривая систему уравнений диаграммы как систему для областей запишем эти уравнения так, чтобы члены, соответствующие одной и той же области, располагались в одном столбце. Матрица коэффициентов такой системы будет иметь строк и столбца. С помощью этой матрицы строится искомый инвариант узла. Имеет место

Теорема. Если из матрицы вычеркнуть два столбца, соответствующих областям с последовательными индексами то детерминант полученной матрицы не зависит от конкретного выбора выбрасываемых столбцов с точностью до множителя вида

Обозначим через сумму всех столбцов, соответствующих областям индекса и через нулевой столбец. Так как в каждой

строке матрицы имеются только четыре ненулевых элемента, а именно и —1, и сумма этих четырех элементов равна нулю, то

Имеет место также соотношение

Действительно, умножим каждый столбец, соответствующий области индекса на Рассмотрим строчку матрицы соответствующую вершине С с индексом Пусть уравнение диаграммы для точки С имеет вид

и области имеют индекс индексы Тогда строчка в новой матрице будет иметь четыре ненулевых элемента сумма которых снова нуль. Используя (4) и (5), получим

В этом уравнении член с исчез. Обозначим теперь через детерминант матрицы полученной вычеркиванием из пары столбцов с индексами соответственно. Тогда имеет место соотношение

Действительно, пусть матрица получена выбрасыванием столбца а индекса и столбца индекса Пусть получена выбрасыванием столбца с индекса и столбца индекса Определитель этих матриц будем также обозначать квадратными скобками. Тогда

где V означает, что столбец а выброшен. Рассмотрим Используя (4), можем выразить столбец а через столбец с и сумму других оставшихся столбцов. Можем записать

Умножим на Используя (6), выразим

через столбец и столбцы других индексов, входящих в кроме столбцов нулевого индекса. Получим

что и доказывает (7).

Так как индексы областей определены с точностью до аддитивной постоянной, то полученное соотношение (7) дает

Отсюда находим

В частности, при получим

что и доказьюает теорему;

Многочлен разделим на выбрав степень и знак так, чтобы в полученном выражении член наименьшей степени был положительной постоянной. Имеет место

Теорема. Полином есть инвариант узла. Прежде чем переходить к ее доказательству, найдем полином для простого узла на рис. 48. Матрица в этом случае имеет вид

По указанному правилу областям поставим в соответствие индексы. Например, если область имеет индекс 2, следующие три будут иметь индекс индекс 0. Детерминант матрицы полученной вычеркиванием из последних двух столбцов, будет

Следовательно,

Для доказательства инвариантности полинома рассмотрим элементарные преобразования матриц диаграмм узлов.

Две матрицы называются эквивалентными, если можно преобразовать одну из них в другую с помощью элементарных

операций, применяемых в теории матриц с целыми коэффициентами

а) умножение строк (столбцов) на — 1;

перестановка местами строк (столбцов) ;

прибавление одной строки (столбца) к другой;

окаймление матрицы одной новой строкой и новым столбцом, у которых общий элемент равен 1, а остальные - нули.

Кроме того, введем еще операцию - умножение и деление строчки (столбца)

Два полинома будут называться -эквивалентными, если они отличаются самое большее на множитель вида Имеет место

Рис. 49

Рис. 50

Теорема. Если две диаграммы представляют узлы одного типа, то их матрицы -эквивалентны.

Нетрудно проверить, что любые возможные изменения структуры диаграммы, индуцированные элементарными деформациями узлов, могут быть сконструированы из следующих простых преобразований.

A. Кривая диаграммы приобретает петлю и точку пересечения или деформацией обратного рода теряет петлю и точку пересечения (рис. 49).

B. Одна ветвь кривой проходит под другой с возникновением двух новых точек пересечения, или деформацией обратного рода одна ветвь кривой соскальзывает с другой, теряя при этом две точки пересечения (рис. 50).

C. Пусть существует треугольная область на диаграмме, ограниченная тремя дугами с тремя точками пересечения, причем ветвь одной из трех дуг проходит ниже двух других ветвей. Тогда эта ветвь может быть перенесена параллельно мимо точки, пересечения двух других ветвей (рис. 51).

Действительно, пусть треугольник А — проекция на плоскость диаграммы треугольника испрльзуемого при деформации узла. Производя, если необходимо, подразбиения А, легко увидеть, что каждая деформация может рассматриваться как результат конечной последовательности деформаций, в которых треугольники

имеют сколь угодно малые размеры. Поэтому можно перейти к рассмотрению таких деформаций, для которых выполняется одно из следующих условий:

1) внутри А нет точек диаграммы;

2) А пересекается лишь с одним ребром диаграммы;

3) А пересекается с двумя ребрами диаграммы, которые имеют одну общую точку;

4) внутри А имеется одна точка пересечения диаграммы, через которую проходят две ветви диаграммы.

В первом случае, очевидно, топологическая структура диаграммы не меняется.

Рис. 51.

Рассмотрение трех последних случаев, в силу того, что внутренняя область треугольника не должна пересекаться с узлом, приводит к указанным выше трем деформациям

Для доказательства теоремы достаточно показать, что при каждом преобразовании матрица диаграммы переходит в -эквивалентную.

Рассмотрим преобразование диаграммы вида А, при котором на диаграмме возникает новая область и точка пересечения. Уравнение диаграммы для этой точки имеет вид

Остальные уравнения диаграммы не изменились. Если матрица первоначальной диаграммы, то матрица новой диаграммы получается из окаймлением новой строчкой с ненулевыми элементами и столбцом, у которого один ненулевой элемент х:

Операциями матрицам приводится к матрице, полученной из окаймлением одной строчкой и столбцом, у которых общий элемент , а остальные — нули. Поэтому и -эквивалентны.

При изменении диаграммы вида В вместо области возникают три новые области и две новые точки пересечения. Этим точкам соответствуют уравнения

Другие уравнения диаграммы изменяются следующим образом. Если вершина С раньше была на границе области то в новой диаграмме С либо лежит на границе области либо на границе области Поэтому в уравнении диаграммы, соответствующем С, мы должны заменить либо на либо на . Если матрица прежней диаграммы, то матрица новой диаграммы получается из следующим образом. Столбец области представим в виде суммы двух столбцов, которые будут соответствовать областям Полученную матрицу обозначим Кроме того, матрицу окаймим двумя строчками и одним столбцом. Матрица новой диаграммы имеет вид

Предпоследнюю строчку добавим к последней. Столбец области добайим к столбцу области Далее, с помощью последнего столбца приводам матрицу к виду

где — столбец (без элементов последних двух строчек) области . С помощью последней строчки все элементы столбца а можно обратить в нуль. Следовательно, матрица -эквивалентна

Рассмотрим преобразование С диаграммы и соответствующее преобразование матрицы. Запишем систему уравнений для

точек

Остальные уравнения двух диаграмм совпадают. Отбрасывая полностью совпадающие столбцы, запишем матрицы диаграмм

где столбцы областей расположены в порядке следования индекса Столбцы матриц областей будем обозначать соответственно Столбцы матрицы А обозначим Матрицы, полученные элементарными преобразованиями, будем отмечать чертой сверху. В матрице возьмем столбцы помощью операций получим из них новые столбцы такие, что в последних трех элементах этих столбцов будут стоять два одна 1 или —1. Затем с их помощью получим столбцы которых последние три элемента нулевые. Аналогично поступим со столбцами матрицы . Более точно, переход от матриц к матрицам зададим в виде

Тогда матрицы приобретают следующий вид:

Области имеют только три вершины, поэтому столбец в матрице А состоит только из нулевых элементов. Столбцы как следует из задания совпадают соответственно со столбцами Отличаются лишь столбцы где

Запишем две матрицы из этих столбцов, принимая во внимание (8):

Легко видеть, что эти матрицы с помощью элементарных преобразований переводятся друг в друга. Следовательно, -эквивалентны и матрицы двух рассматриваемых диаграмм. Теорема доказана.

Покажем теперь, что матрица полученная заменой двух столбцов матрицы последовательных индексов и 1 на нулевые, -эквивалентна матрице

Для доказательства этого утверждения покажем, что любые два столбца матрицы с последовательными индексами могут быть выражены как линейные комбинации оставшихся столбцов, причем коэффициентами в этих комбинациях являются полиномы по с целыми коэффициентами.

Так как индексы определены только с точностью до аддативной постоянной, то можно предположить, что Заметим, что в выражении (6) отсутствует член с а коэффициент при есть Разделим коэффициенты всех членов в (6) на это выражение, так что при получим коэффициент, равный 1. Коэффициенты оставшихся членов будут тогда полиномами от Поэтому любой столбец индекса 1 выражается как линейная комбинация с полиномиальными коэффициентами столбцов индексов, отличных от нуля. Если уравнение (5) умножить на х и затем вычесть из него уравнение то мы получим соотношение

которое не содержит члена с Отсюда вытекает, что любой столбец индекса выражается как линейная комбинация с полиномиальными коэффициентами столбцов индексов, отличных от 1.

Так как элементы рассматриваемых матриц являются полиномами от одной переменной х с целочисленными коэффициентами, то можем применить теорию элементарных преобразований -матриц [37]. При этих преобразованиях определитель матрицы

Рис. 52

остается инвариантным с точностью до множителя Таким образом, полином является инвариантом узла.

Полином узла был вычислен Дж. Александером для многих узлов. Таблица полиномов узлов, у которых число вершин диаграммы не более 6, приведена на рис. 52.

Отметим, что степень полинома узла меньше или равна удвоенному роду узла [28].

Задачи

(см. скан)