§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЙ

Понятие кривой является одним из основных в дифференциальной геометрии. Первоначально этому понятию не давалось точного математического определения. Евклид в своих "Началах" назьюает линией длину без ширины или границу поверхности. В древние времена были найдены многае интересные кривые, но представление об общем виде кривой оставалось на наглядном уровне. Дальнейший прогресс в технике потребовал развития естествознания, особенно механики, опирающейся на математический аппарат. Потребовалось ясное понимание ее основ, в частности точное представление о кривой. Предложенный Декартом метод координат впервые позволил сформулировать понятие кривой в довольно общей форме. Так, плоской кривой, задаваемой уравнением стали назьюать множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Из механики возникло представление о кривой как о траектории движущейся точки с координатами, зависящими от времени Жордан дал следующее определение: кривой в пространстве называется множество точек пространства, координаты которых х, у, z являются непрерывными функциями

от некоторого параметра изменяющегося на отрезке числовой оси. Иначе говоря, кривой является образ непрерьюного отображения отрезка в пространство. Это определение казалось вполне соответствующим наглядному представлению о кривой, но в 1890 г. Пеано построил такое непрерывное отображение отрезка образом которого является целый квадрат на плоскости. Мы рассмотрим этот пример ниже. В 1897 г. Клейн писал: "Что такое произвольная кривая, произвольная поверхность Можно сказать, что с математической точки зрения в настоящее время нет ничего темнее и неопределеннее, чем упомянутое понятие. То, что мы в эмпирическом представлении назьюаем кривою, есть, прежде всего, полоса, т.е. часть пространства, в которой перед размерами длины отступают прочие измерения...

Но если кривая должна стать предметом точного математического рассмотрения, то мы должны ее идеализировать точно так же, как это бьюает повсюду в начале геометрии с точкой. И здесь-то начинаются трудности... Обратимся теперь к предложению, которое Риман поставил во главу своих исследований о "гипотезах геометрии", именно, что точечное пространство можно рассматривать как трояко-протяженное непрерьюное числовое многообразие... Мы начинаем с того, что на начерченной или какой-либо другой материальной прямой линии строим фактически шкалу равноотстоящих точек (масштаб). Части этой шкалы мы затем снова подразделяем до тех пор, пока это оказывается практически выполнимым. .. И теперь мы делаем решающий шаг от опыта к аксиоме: мы постулируем, что соответствие между точкой и числом имеет место не только в пределах эмпирической точности, но и абсолютно". Заметим, что Веронезе, отказавшись от этой аксиомы, рассматривал геометрию, в которой предполагается, что на прямой рядом с рациональными и иррациональными числами имеются еще и другае числа. Однако это предположение не приводит к существенным геометрическим фактам, да и с точки зрения приложений в развитии этой пшотезы пока нет необходимости. Другой крайний взгляд на пространство дает дискретная геометрия.

Риман писал: "Вопрос о том, справедливы ли допущения геометрии в бесконечно малом, тесно связан с вопросом о внутренней причине возникновения метрических отношений в пространстве. Этот вопрос, конечно, также относится к области учения о пространстве, и при рассмотрении его следует цринять во внимание сделанное выше замечание о том, что в случае дискретного многообразия принцип метрических отношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерьюного многообразия его следует искать где-то в другом месте. Отсюда следует, что или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реальное".

В дифференциальной геометрии используется определение кривой, данное Жорданом, но несколько видоизмененное. Сначала мы определим элементарную кривую. Пусть задано некоторое отображение у интервала числовой прямой в пространство. Отображение у называется непрерывным в точке если для любого числа найдется число такое, что если точка удовлетворяет неравенству то расстояние от точки до точки меньше Отображение у будем называть непрерывным, если оно непрерьюно в каждой точке интервала Отображение у взаимно однозначно, если

в каждую точку образа интервала отображается только одна точка. Образ интервала обозначим у. Если отображение у взаимно однозначное, то можно определить обратное отображение областью, определения которого является множество у. Именно, если точка то отображение ставит в соответствие точке ее прообраз при отображении т.е. если то Обратное отображение непрерывно в точке если для любого числа найдется такое, что если и расстояние в пространстве от до меньше 5, то

Определение. Множество у точек пространства называется элементарной кривой, если это множество является образом интервала при взаимно однозначном отображении у, которое непрерывно само и обладает непрерывным обратным отображением.

Заметим, что взаимно однозначное непрерывное отображение, для которого обратное отображение тоже непрерьюно, называется топологическим отображением.

Пусть каждой точке X интервала соответствует число Этой точке на интервале соответствует в пространстве точка Пусть в пространстве введены декартовы координаты х, у, z. Тогда каждому числу соответствует точка а ей соответствуют три пространственные координаты х, у, z. Поэтому пространственные координаты точки являются функциями от параметра

Эти равенства называют уравнениями кривой у в параметрической форме. Если интервал взаимно однозначно и непрерывно отображается на другой интервал каждой точке которого ставится в соответствие некоторое число то можем считать, что является монотонной функцией от . В этом случае на кривой у можем определить новый параметр определенный на интервале Сложное отображение интервала сначала на интервал и затем на у является топологическим. Поэтому говорят, что кривая у имеет наряду с представлением (1) и эквивалентное представление:

Элементарная кривая может иметь довольно сложное строение.

Например, проекция элементарной кривой на плоскость может оказаться кривой Пеано и, следовательно, может покрыть квадрат.

Определим теперь простую кривую. Множество у точек пространства называется простой кривой, если у является топологическим образом либо открытого отрезка прямой, либо окружности. Топологический образ окружности называют замкнутой жордановой кривой.

Свойство связности кривой. Установим теперь важное свойство связности кривой. Точка пространства называется предельной для точек множества если в любую окрестность точки попадают точки множествам Некоторое множество точек называется связным, если его нельзя разбить на два непересекающихся подмножества таких, что каждое из них не содержит предельных точек другого.

Покажем, что любой отрезок числовой прямой является связным множеством. Допустим, что это не так и отрезок можно разбить на два множества таких, что каждое из них не содержит предельных точек другого. Множества замкнуты. Действительно, если точка то найдется окрестность этой точки, состоящая полностью из точек этого множества, т.е. множество замкнуто. Пусть точка принадлежит множеству Пусть с — верхняя грань точек множества Точка с является предельной точкой множества поэтому она принадлежит замкнутому множеству и не совпадает с Но так как с — верхняя грань точек множества то точки принадлежат. Поэтому точка с — предельная точка множества следовательно, принадлежит Таким образом, точка с принадлежит что невозможно.

Покажем, что свойство связности сохраняется при топологическом отображении. Допустим связное множество и его топологическое отображение. Предположим, что образ т.е. не является связным. Тогда найдутся множества таких, что и ни одно из них не имеет предельных точек другого множества. Рассмотрим множества в Так как связное множество, то найдется точка являющаяся предельной точкой для Так как -непрерывное отображение то для любой заданной окрестности точки найдется окрестность точки такая, Так как любая окрестность содержит точки то любая окрестность точки содержит точки В, т.е. точка предельная для точек В. Это противоречит определению Отсюда следует, что кривая является связным множеством.

Мы будем рассматривать также кривые с самопересечениями. Пусть интервал или окружность непрерывно отображаются в пространство, причем для каждой точки прообраза существует окрестность, образом которой является элементарная кривая. Такие кривые называют общими. Одна и та же точка этой кривой может соответствовать различным значениям параметра это точка самопересечения. При изменении параметра от а до соответствующая точка на кривой пройдет через точку самопересечения по крайней мере два раза.