§ 5. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ К КРИВОЙ

Пусть точка кривой у. Возьмем на ней еще точки расположенные по разные стороны от точки три точки проведем плоскость. Предельное положение плоскости, проходящей через три точки когда две из них стремятся к третьей точке будем называть соприкасающейся плоскостью кривой в точке По этому определению, если соприкасающаяся плоскость в точке существует, то она единственна. Очевидно, соприкасающаяся плоскость должна проходить через точку

Теорема. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая кривая. Если в точке векторы не коллинеарны, то в этой точке существует соприкасающаяся плоскость, и она проходит через векторы (рис. 2).

Пусть точке отвечает значение параметра а точкам значение параметров Точка имеет радиус-вектор а точки имеют радиус-вектор Следовательно, вектор имеет вид

Так как кривая дважды дифференцируема, то можем записать следующее разложение Тейлора для радиус-вектора кривой в окрестности точки по степеням

Здесь бесконечно малый вектор более высокого порядка, чем т.е. при

Рис. 2.

Через два вектора мы проводим плоскость. С помощью разложения Тейлора эти векторы можно записать в виде

В плоскости этих векторов лежат и следующие их линейные комбинации:

Так как точки лежат по разные стороны от точки то величины разных знаков. Поэтому

Значит, бесконечно малое дополнение к во втором векторе (1) стремится к нулю при Поэтому векторы (1) имеют предельные положения Если эти векторы не коллинеарны, то они определяют предельное положение плоскости, проходящей через точки т.е. соприкасающуюся плоскость кривой.

В том случае, когда коллинеарны, предельное положение плоскости, вообще говоря, не определено. Рассмотрим, например, прямую

где постоянные векторы. Имеем

т.е. для прямой соприкасающаяся плоскость не определена. В этом случае можно считать, что любая плоскость, проходящая через прямую, является соприкасающейся.

Точка кривой , в которой коллинеарны, называется точкой распрямления кривой. В этой точке любую плоскость, проходящую через касательную прямую, будем называть сопри касающейся.

Заметим, что соприкасающаяся плоскость по самому определению не зависит от выбора параметра на кривой. Покажем это также с помощью векторов

Действительно, если другое параметрическое задание кривой и то по правилу дифференцирования сложной функции получим

Вычисляя вектор находим, что он коллинеарен вектору

Так как соприкасающаяся плоскость имеет нормаль, направленную по вектору и проходит через точку то полученное равенство означает независимость ее от параметризации.

Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой она лежит.

Рассмотрим разложение Тейлора вектор-функции пространственной кривой в окрестности точки

Кривая, определяемая частью этого разложения,

лежит в соприкасающейся плоской кривой у, и ее радиус-вектор отличается от радиус-вектора кривой у на бесконечно малый вектор более высокого порядка, чем

Поэтому любую пространственную кривую с точностью до бесконечно малого вектора в бесконечно малой окрестности точки можно рассматривать как плоскую кривую, расположенную в соприкасающейся плоскости в этой точке.

Запишем уравнение соприкасающейся плоскости. Пусть — радиус-вектор ее произвольной точки. Вектор ортогонален к соприкасающейся плоскости. Вектор лежит в ней, поэтому скалярное произведение этих двух векторов равно нулю:

Это и будет уравнение соприкасающейся плоскости. В координатной форме оно имеет вид

С помощью соприкасающейся плоскости выделим две особые нормали к кривой. Нормаль к кривой у, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Она является прямой пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей.

Нормаль к кривой у, ортогональная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.

Найдем направления главной нормали и бинормали. Мы уже установили, что вектор ортогонален к соприкасающейся плоскости. Поэтому бинормаль направлена по вектору Далее, заметим, что главная нормаль ортогональна и бинормали. Поэтому направление главной нормали задается вектором

Задачи

(см. скан)