§ 22. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАМКНУТОЙ КРИВОЙ ПО СФЕРИЧЕСКОЙ ИНДИКАТРИСЕ КАСАТЕЛЬНЫХ

В предыдущем параграфе мы установили, что любая большая окружность на единичной сфере пересекает сферическую индикатрису касательных замкнутой кривой Это означает, что сферическая индикатриса у не умещается ни на какой полусфере.

Рассмотрим следующий вопрос. Пусть на единичной сфере задана замкнутая кривая у. В каком случае кривая у является сферической индикатрисой касательных замкнутой кривой

Оказывается, указанное выше необходимое условие на у является и достаточным. Имеет место

Теорема. Для того чтобы замкнутая сферическая кривая у была индикатрисой касательных замкнутой кривой необходимо и достаточно, чтобы у не помещалась ни на какой полусфере.

Эта теорема была доказана М. Я. Выгодским [10]. Мы изложим простое доказательство из [9]. Пусть параметрическое задание кривой у и параметр и изменяется на отрезке Для любого постоянного вектора а скалярное произведение взятое вдоль у, изменяет знак (т.е. является знакопеременной функцией от u). В противном случае у не пересекается с большим кругом, лежащим в плоскости, ортогональной а. Пусть х -

радиус-вектор искомой кривой длина ее дуги. Имеем

Будем рассматривать как монотонно возрастающую функцию параметра и введем обозначение По определению Имеем

Положим Рассмотрим множество концов векторов

отложенных от начала координат, получаемое при всевозможном выборе положительных функций таких, что Множество выпуклое тело в пространстве т.е. если точки принадлежат то и весь отрезок прямой, соединяющий принадлежит Радиус-вектор точки из этого отрезка имеет вид

где и положительные числа. Для доказательства выпуклости нужно заметить, что если

с некоторыми положительными функциями то точку получим, если возьмем положительную функцию т. е.

Если начало координат — точка О — не принадлежит выпуклому множеству то через точку О можно провести плоскость, не пересекающую Пусть вектор ортогонален этой плоскости. Тогда для всех точек х из множества скалярное произведение не меняет знак, например Имеем

для произвольных положительных функций удовлетворяющих условию Но функция должна менять знак. В той части отрезка, где мы можем взять сколь угодной малой, но положительной, а в той части, где мы положим достаточно большой. Тогда интеграл в правой части (2) будет отрицателен. Это противоречит неравенству

Поэтому множество содержит начало координат О и для некоторой положительной функции кривая

замкнута. Ее касательный вектор

один и же при значениях параметра