§ 8 СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ОКРУЖНОСТЬ К ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

Рассмотрим плоскую кривую у с кривизной малой окрестности точки кривую можно приближенно заменить ее касательной прямой в этой точке. Это ее первое приближение. Вторым приближением кривой является соприкасающаяся окружность, вернее некоторая достаточно малая дуга ее. Расположим оси координат х, у на плоскости так, чтобы начало координат совпало с точкой и ось х касалась кривой у в этой точке. Пусть уравнение данной кривой уравнение некоторой окружности, проходящей через точку Окружность, задаваемая называется соприкасающейся, если в точке совпадают между собой значения функций и и их первых и вторых производных, т.е.

Отсюда следует, что разложения и

совпадают между собой с точностью до бесконечно малой Поэтому из всех окружностей, проходящих через точку соприкасающаяся окружность наиболее тесно примыкает к кривой.

Так как касательная прямая к кривой в точке определяется значениями то касательные прямые у данной

кривой и у соприкасающейся окружности при совпадают, т.е. соприкасающаяся окружность касается данной кривой и ее центр О расположен на главной нормали к кривой у (рис. 7).

Так как кривизна плоской кривой определяется уравнением

и так как первые и вторые производные и совпадают, то кривизна соприкасающейся окружности равна кривизне кривой в точке

Рис. 7

Следовательно, ее радиус Таким образом, центр соприкасающейся окружности расположен на главной нормали к кривой на расстоянии от точки Центр соприкасающейся окружности назьюается центром кривизны кривой в точке

Геометрическое место точек центров кривизны называется эволютой кривой. Обозначим ее у. Дадим параметрическое представление для эволюты. Пусть естественная параметризация данной кривой. Тогда радиус-вектор центра кривизны можно записать в виде суммы двух векторов: вектора и вектора с началом в точке концом в центре кривизны. Последний вектор коллинеарен главной нормали и имеет длину Следовательно, уравнение эволюты имеет вид

Из формулы для плоской кривой следует Найдем касательный вектор к эволюте:

Поэтому если то касательный вектор к эволюте кривой у направлен по главной нормали кривой у (рис. 8).

Рис. 8

Рис. 9

Кривая у, для которой данная кривая у является эволютой, называется эвольвентой для кривой у. Найдем параметрическое представление эвольвенты , взяв в качестве параметра длину дуги кривой у. Так как соответствующая точка эвольвенты расположена на касательной прямой к кривой у в точке

Кривая у — эволюта для у, ее касательный вектор направлен по главной нормали эвольвенты (рис. 9). Поэтому вектор ортогонален к касательному вектору эвольвенты, т.е. к Из этого условия найдем Имеем

Следовательно,

Уравнение эвольвенты кривой имеет вид

где с — произвольная постоянная. Можно показать, что при произвольном с кривая определяемая этим уравнением, действительно является эвольвентой для Поэтому для данной кривой существует бесконечно много эвольвент. Действительно, из формулы (1) имеем

Пусть длина дуги эвольвенты и — ее кривизна. Так как единичный вектор, то

Будем считать, что Имеем

Поэтому кривизна эвольвенты главная нормаль эвольвенты. Уравнение (2) можно переписать в таком виде:

т.е. кривая действительно является эволютой для

Укажем наглядный способ образования эвольвенты. На кривой у возьмем точку и отложим от нее дугу кривой длины с. Второй конец кривой обозначим Представим, что на эту дугу наложена гибкая нерастяжимая нить, закрепленная одним концом в точке Будем сматывать нить с кривой , как с шаблона, за конец все время натягивая ее. Тогда точка опишет эвольвенту кривой у.

Действительно, на некотором участке нить проходит по кривой . Пусть этот участок имеет длину На оставшемся участке нить натягивается по прямой, касающейся кривой у. Длина этого участка равна Следовательно, согласно (2). точка опишет эвольвенту кривой у.

Эволюты и эвольвенты широко используются при конструировании деталей машин.