§ 16. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ СФЕРА

Для плоской кривой мы уже определили соприкасающуюся окружность. Пусть теперь у — пространственная кривая. Определим для у соприкасающуюся сферу. Возьмем на ней четыре точки Если они не лежат в одной плоскости, то через них можно провести единственную сферу Пусть точки стремятся к точке Предельная сфера, если она существует при называется соприкасающейся сферой кривой в точке Ее центр и радиус являются пределами центров и радиусов соответственно сфер при

Пусть точке соответствует значение параметра точке - значение параметра Найдем центр сферы, проходящей через четыре точки. Если взять на сфере две точки то ее центр расположен в плоскости, ортогональной отрезку и проходящей через его середину. Центр сферы — точка пересечения трех таких плоскостей. Запишем уравнение одной из них. Пусть радиус-вектор текущей точки плоскости. Радиус-вектор середины отрезка есть а направление отрезка ортогонального плоскости,

Поэтому уравнение искомой плоскости имеет вид

Система трех таких уравнений при задает точку пересечения плоскостей — центр сферы. Пусть начало координат расположено в точке т.е. Используем разложение (1) § 12 радиус-вектора кривой в окрестности точки Пусть естественный трехгранник в точке Тогда уравнение (1) можно записать так:

Соберем в левой части члены с одинаковыми степенями Получим

Если разделить это уравнение на и устремить к нулю, то, с учетом о. получим

Это означает, что соприкасающейся сферы расположен в нормольной плоскости кривой, соответствующей точке Возьмем два уравнения (2) с и вычтем одно уравнение из другого. Получим

где коэффициенты при и в уравнении (2). Разделим уравнение (3) на и устремим Будем считать, что точки стремятся к точке равномерно. Например, положим Тогда

Следовательно,

Наконец, если записать уравнение, аналогичное (3), но со смещениями то с помощью этих двух уравнений получим

Положим, например, Тогда в правой части стоит бесконечно малая величина вида при Поэтому

Если радиус-вектор центра соприкасающейся сферы, то можем записать

т.е. радиус-вектор центра соприкасающейся сферы можно представить так:

Отсюда следует, что радиус соприкасающейся сферы равен

Рассмотрим сферическую кривую, т.е. кривую, целиком расположенную на некоторой сфере. Так как в этом случае центр соприкасающейся сферы постоянен, то, дифференцируя (4) и применяя формулы Френе, получаем

Следовательно, для сферической кривой должно выполняться уравнение

Это уравнение удобнее записать для радиуса кривизны кривой Введем вместо параметр :

Тогда уравнение для радиуса кривизны сферической кривой имеет вид

Из теории дифференциальных уравнений следует, что общее решение этого уравнения является линейной комбинацией

где

Покажем, что если кривизна и кручение кривой удовлетворяют уравнению (6), то кривая лежит на некоторой сфере. Запишем производную от квадрата радиуса соприкасающейся сферы:

Поэтому В силу уравнения (5) центр соприкасающейся сферы также постоянен. Рассмотрим (4). Перенесем в левую часть и возведем в квадрат:

Это уравнение сферы с центром в точке и радиуса , т.е. кривая лежит на сфере. Таким образом, уравнения (6) или, что то же самое, (7) характеризуют сферические кривые.