§ 15. КРИВЫЕ С ПОСТОЯННЫМ ОТНОШЕНИЕМ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ

Обозначим Так как для рассматриваемых кривых отношение постоянно, то можем записать

где Запишем уравнения Френе в следующем к

Введем на кривой новый параметр о:

Используя уравнения Френе, получим уравнение

Из теории дифференциальных уравнений следует, что общее решение этого уравнения имеет вид

где постоянные векторы. Так как единичный вектор, то и Таким образом, главная нормаль кривой, у которой постоянно, лежит в фиксированной плоскости. Интегрируя первое уравнение Френе, получим касательный вектор кривой

где с - постоянный вектор. Если то кривая плоская. Пусть Имеем

Так как уравнение выполняется тождественно по , то коэффициенты при равны нулю. Следовательно,

Это означает, что вектор ортогонален к плоскости векторов и его длина равна Отсюда следует, что касательный вектор кривой с постоянным отношением составляет постоянный угол с фиксированным направлением с. Кривые, касательные к которым образуют постоянный угол с некоторым неизменным направлением, называются линиями откоса. Так как интегрируя это уравнение, получаем радиус-вектор кривой

В этом уравнении а является неизвестной функцией от которая может быть задана произвольно. Итак, мы установили, что кривая с постоянным отношением имеет вид (1). Справедливо и обратное.

Частным случаем этой кривой является кривая с постоянными кривизной и кручением. В этом случае и параметр

пропорционален Получаем параметрическое представление кривой:

Через точку О с радиус-вектором проведем плоскость, параллельную векторам Проекция кривой на эту плоскость является окружностью с центром О и радиусом Следовательно, кривая расположена на цилиндре с осью, параллельной вектору с. При изменении от до проекция кривой пробегает окружность бесконечное число раз, в то же время ее проекция на ось цилиндра пробегает всю ось, причем сдвиг точки в направлении оси пропорционален углу поворота. Эта кривая называется винтовой линией. Величина сдвига по оси при полном обороте вокруг оси называется шагом винта.

Запишем уравнение винтовой линии, когда ее ось совпадает с осью