§ 29. ИНТЕГРАЛ ГАУССА ДЛЯ ДВУХ ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ

Рассмотрим топологические свойства двух замкнутых кривых, связанные с зацеплениями. Пусть в трехмерном евклидовом пространстве имеются две замкнутые непересекающиеся кривые . Пусть дано параметрическое представление каждой кривой в виде Тогда по известным вектор-функциям можно найти некоторое целое число коэффициент зацепления — такое, что если то можно заключить, что кривые зацеплены. Это число определяется с помощью интеграла Гаусса, впервые введенного Гауссом в 1833 г. в работе по электродинамике [55].

В плоскости с координатами рассмотрим прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Пусть вершины прямоугольника имеют координаты Будем считать, что параметры изменяются на отрезках Так как кривые замкнуты, то Отождествим точки стороны прямоугольника с точками стороны считая две точки тождественными, если у них одинаковые координаты

Аналогично отождествим точки сторон по равенству координат Полученное множество точек обозначим Каждая точка этого множества имеет в самом множестве окрестность, гомео-. морфную кругу (т.е. это будет замкнутое двумерное многообразие). Нетрудно установить взаимно однозначное и непрерывное соответствие с множеством точек тора. Рассмотрим на следующую зависящую от двух аргументов вектор-функцию Так как кривые не пересекаются, то эта вектор-функция ни при каких значениях из указанных выше отрезков не обращается в нуль. Следовательно, в каждой точке с координатами определен единичный вектор

Отложим вектор от фиксированной точки О. Каждой точке поставим в соответствие конец вектора точку лежащую на единичной сфере Получим непрерывное отображение Найдем площадь области на покрытой при этом отображении. Заметим, не давая здесь подробного определения, что площадь поверхности в теории поверхностей определяется как число, приближенно равное сумме площадей бесконечно малых параллелограммов в касательных плоскостях, стороны которых касаются координатных линий на поверхности. их и При этом предполагается, что область изменения параметров их и разбита на бесконечно малые кординатные прямоугольники. Площадь каждого такого параллелограмма, взятого в соответствующей точке поверхности, называется элементом площади поверхности в этой точке. В теории поверхностей доказывается, что элемент площади поверхности с радиус-вектором задается выражением

Интеграл от этого выражения по области изменения параметров дает площадь соответствующей области на поверхности. Векторы касательные к поверхности, поэтому векторное произведение, направлено по нормали к поверхности. Для единичной сферы ее радиус-вектором, зависящим от параметров является вектор-функция Одновременно это и нормаль к сфере. Поэтому элемент площади единичной сферы имеет вид

Далее мы будем вычислять ориентированную площадь образа отображения и для этого разобьем на области, в которых

сохраняет знак. Площадь образа такой области на при отображении мы будем брать со знаком если в этой области и со знаком Сохраняя прежнее обозначение но теперь уже для элемента ориентированной площади, запишем

Находим

Следовательно, для элемента ориентированной площади единичной сферы имеем выражение

где взяты при значениях аргументов

Каждому непрерывному отображению замкнутой Поверхности на сферу можно поставить в соответствие целое число — степень отображения, т.е. алгебраическое число покрытий точек сферы, которое равно ориентированной площади образа, деленной на Степень отображения построенного по двум кривым обозначим . С помощью (1) получим

Интеграл в правой части назьюается интегралом Гаусса. Так как целое число, то при непрерывном изменении таком, что не пересекают друг друга, число не изменяется.

Если кривые не зацеплены друг с другом, то значение интеграла Гаусса равно нулю. Действительно, в этом случае кривые можно непрерывно стянуть в малые окрестности двух различных точек Вектор-функция для стянутых кривых будет почти постоянной, а образ отображения соберется в малую окрестность точки на . Следовательно, степень отображения равна нулю, т.е. Из этого замечания следует, что если то кривые зацеплены, но не наоборот. Существуют зацепления двух кривых, для которых

Перейдем к рассмотрению зацеплений двух бесконечно близких кривых. Пусть - замкнутая кривая в без самопересечений. Рассмотрим кривую у, бесконечно близкую к и параллельную ей. Если радиус-вектор длина ее дуги, то радиус-вектор

кривой у запишем в виде

где в — постоянное положительное число, достаточно малое, чтобы не пересекались, единичный вектор, ортогональный касательному вектору кривой у. Точки отрезка при движении его вдоль кривой у опишут полосу. Зацепленность краев этой полосы означает, что ее нельзя непрерывно без особенностей деформировать в замкнутую полосу кругового цилиндра. При этом край полосы сам по себе может быть и незаузленной кривой.

Пусть длина кривой у равна Значение коэффициента зацепления при достаточно малых в не будет изменяться при изменении . Запишем

Но двойной интеграл от подынтегрального выражения, взятого при не совпадает, вообще говоря, со значением при малых Введем функцию

определенную в квадрате вне диагонали Но и на диагонали эта функция может быть доопределена значением 0. Чтобы показать это, запишем разложение Тейлора

где ограниченные векторы, которые определяются значением третьих производных координат в точках отрезка Обозначим Найдем значение функции в точке, близкой к диагонали квадрата

где при Следовательно, при функция Доопределив ее на диагонали нулем, получим непрерьшную и даже дифференцируемую функцию. Таким образом, интеграл

имеет смысл, хотя его значение не обязательно равно целому числу.

Найдем разность между Подынтегральную функцию в (2) обозначим Область интегрирования - квадрат разобьем на две части: полосу вдоль диагонали, задавемую неравенствами где малое число, и оставшуюся часть Вычисляя интеграл по мы сначала перейдем к пределу при а потом при Используя разложения (3), запишем выражение

где ограниченные в функции:

Можем записать 1

где функция оценивается следующим образом:

Запишем интеграл от первого слагаемого в (4), взятый по полосе и перейдем к пределу при в 0. Получим

В силу оценки функции и равенства

предел (5) равен

Далее рассмотрим интеграл от второго слагаемого в разложении (4):

В силу оценки этот интеграл стремится к нулю при Интеграл от стремится к нулю при . Наконец, интеграл от последнего слагаемого в разложении (4) будет стремиться к нулю при

Так как в области функция при достаточно Малом не обращается в нуль, то, вычислив интеграл от по можем перейти к пределу при Затем, переходя к пределу при , получим Таким образом, имеет место соотношение

Первое слагаемое назьюается суммарным кручением полосы. Пусть вдоль кривой главная нормаль и бинормаль определены как непрерывные периодические вектор-функции. Положим

Тогда можно найти

Если полоса образована движением главной нормали, то суммарное кручение полосы равно интегралу от кручения кривой, деленному на . В этом случае формула (6) была установлена в работе Калагареану [21], а для произвольного — в работе Уайта [22]; упрощенное доказательство приведено в [23].

Мы уже говорили, что интеграл вообще говоря, не является целым числом. Укажем один простой случай, когда - целое число. Вырежем из бумаги полоску в виде прямоугольника, у которого длина значительно больше ширины. Изгибая и перекручивая ее несколько раз, соединим концы. Полученную полосу будем называть плоской. Оказывается, край замкнутой плоской полосы не может быть произвольной кривой. Именно, справедлива следующая, установленная Фенхелем,

Теорема. Кривая у класса регулярности тогда и только тогда является краем замкнутой плоской полосы, когда интеграл

есть целое число.

Запишем выражение для радиус-вектора полосы, которая рассматривается как поверхность в пространстве. Радиус-вектор точки полосы получается как сумма двух векторов радиус-вектора и точки края полосы и вектора ортогонального , лежащего на полосе и имеющего длину

где единичный вектор. Будем считать, что - длина дуги у. В теории поверхностей для описания поведения поверхностей вводится гауссова кривизна К, которая является одной из важных характеристик отличия поверхности от плоскости. Для плоскости Гауссом была доказана теорема о том, что кривизна К при изгибаниях не изменяется. По этой теореме кривизна К изогнутого листа бумаги и, следовательно, плоской полосы, как и у плоского листа, равна нулю. Гаусс дал выражение К через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности где коэффициенты определяются равенствами

Если то формула Гаусса для кривизны имеет вид

С помощью (8) находим

где естественный трехгранник кривой. Следовательно,

По формуле (9) находим гауссову кривизну полосы:

Так как для плоской полосы то получим уравнение

Для замкнутой полосы вектор после обхода кривой вернется в первоначальное положение.

Рис. 35

Рис. 36

Поэтому для замкнутой полосы, полученной сворачиванием и склеиванием плоской полоски бумаги, имеем

где целое число, т.е. необходимость условия доказана. Наоборот, если — замкнутая кривая, для которой выполняется условие (7), то векторное поле с углом удовлетворяющим уравнению (10), определит плоскую полосу, которая в силу условия (7) будет замкнутой.

Из формулы (6) и условия (7) для края у замкнутой плоской полосы следует, что интеграл является целым числом, равным коэффициенту зацепления краев полосы.

Коэффициент зацепления двух замкнутых кривых может быть вычислен следующим простым способом. Проведем через кривую замкнутую ориентируемую поверхность имеющую своей границей. Существование такой поверхности будет доказано в следующем параграфе.

Рис. 37

Рис. 38

Пусть кривая имеет с поверхностью только конечное число точек пересечения причем в этих точках кривая не касается поверхности Пусть выбрана ориентация поверхности индуцирующая ориентацию и выбрана ориентация кривой Каждой точке поставим в соответствие число следующим образом: если в точке скалярное произведение нормали и касательного вектора к кривой удовлетворяет неравенству то положим если то Индексом пересечения поверхности и замкнутой кривой называется сумма всех т.е.

В топологии доказывается, что индекс пересечения равен коэффициенту зацепления Если использовать это равенство, то легко найти, что коэффициент зацепления кривых, изображенных на рис. 35 - 38, принимает последовательно значения .