ПРИЛОЖЕНИЕ 4А

Начнем с двух лемм.

Лемма 1. Пусть является совместным ансамблем и пусть содержит А точек. Тогда

Доказательство. Представим следующими способами:

Последнее слагаемое в и последнее слагаемое в неотрицательны и ограничены сверху величиной Поэтому, приравнивая правые части и получаем

Лемма 2. Пусть ограннченнаи последовательность чисел и пусть

(Под ограниченной последовательностью мы понимаем такую последовательность, для которой Пусть при всех и всех

Тогда

Обратно, если при всех

то имеем

Доказательство. Предположим, что справедливо и для любого заданного выберем так, чтобы

Полагая из получаем, что

Подобно этому, полагая для любого целого числа имеем

Используя индукцию, предположим, что тогда означает, что В силу справедливости предположения индукции при получаем

Далее при любом величину N можно представить в виде где Подставляя вместо получаем

Отсюда следует, что для всех достаточно больших N справедливо, что Равенство следует из того, что а а, и того, что выбрано произвольным. Равенство получается из если заметить, что означает, что применимо к последовательности — и таким образом

Доказательство теоремы 4.6.1 начнем с вывода соотношения

Пусть при произвольных положительных целых числах являются распределениями на входе, на которых достигаются соответственно. Пусть и выберем в виде

где

Пусть являются ансамблями последовательностей и пусть будут соответствующими выходными ансамблями. Так как не обязательно является входным распределением, на котором достигается пропускная способность то имеем — N

Первое слагаемое в правой части ограничено снизу следующим образом:

Последнее слагаемое в может быть преобразовано следующим образом:

где использовано то, что статистически независимы [см. (4А.11)]. Из леммы 1 следует, что ограничена снизу значением . Наконец,

Используя совместно с и замечая, что граница не зависит от получаем

или

Таким образом, последовательность удовлетворяет и по лемме 2 имеем

Докажем, что

Пусть при произвольных положительных целых числах и пусть - входное распределение и начальное состояние, на которых достигается Пусть получающиеся в результате ансамбли входных последовательностей и пусть -соответствующие выходные ансамбли. Тогда

Распределение вероятностей на этом ансамбле (включающем -состояние в момент может быть представлено в виде

Отсюда можно заметить, что являются статистически независимыми при условии, что заданы и Следовательно, для второю слагаемого в получаем

Что касается первого слагаемого в то оно удовлетворяет неравенству:

Последнее слагаемое в можно оценить сверху, используя лемму 1:

Подставляя будем иметь

или

Из леммы 2 следует, что