Существование полей Галуа

Как было показано, поля Галуа существуют только, когда число элементов равно степени простого числа, и существует (с точностью до нумерации элементов) с любым заданным числом элементов только одно поле. В последующих трех теоремах доказывается, что для любого

поле Галуа действительно существует. Собственно, все, что нужно доказать — это существование неприводимых многочленов всех степеней над для всех простых чисел

Теорема 6.6.6. Пусть элементы поля с характеристикой Тогда при всех целых

Докаазтельстео. При из разложения бинома следует, что

где нужно рассматривать как сумму слагаемых, каждое из которых равно Вместе с тем при —1

Так как целое число, простое число, то знаменатель (6.6.10) является делителем поэтому является делителем Следовательно, при сложении 1 с самой собой раз получим 0 и все внутренние слагаемые в правой части (6.6.9) равны 0; таким образом,

Возводя (6.6.11) в степень получаем

аналогично, возводя раз соотношение (6.6.11) в степень получаем (6.6.8).

Следствие. Если

— многочлен над — элемент поля то при любом

В частности, если корень то при любом

Доказательство. Имеем

Так как элемент то поэтому Последовательно возводя обе части равенства в степень получаем Поэтому (6.6.14) преобразовывается к виду

Если то получаем (6.6.13).

Теорема 6.6.7. Пусть нормированный неприводимый многочлен степени над Многочлен делится на тогда и только тогда, когда делится на

Доказательство. Рассмотрим поле многочленов над по модулю Многочлен является элементом рассматриваемого поля; обозначим этот элемент через а. Так как то а — корень Любой другой элемент в этом поле можно представить в виде

где целые элементы поля. Выберем таким образом, чтобы было примитивным элементом; обозначим через соответствующий ему многочлен так что Теперь предположим, что делится на Тогда является корнем и

Используя (6.6.17) и (6.6.12), получаем

Из (6.6.18) следует, что делится на порядок элемента Вместе с тем, так как примитивный элемент, его порядок равен и число должно быть делителем Выполнив это деление, получим

откуда следует, что делится на тогда и только тогда, когда делится на Таким образом, если делится на то должно делиться на Обратно, если делится на то делится на порядок элемента а, поскольку делится на порядок элемента а. Следовательно, корень делится на минимальный многочлен элемента а.

Из этой теоремы следует, что при любых все неприводимые делители над имеют степени, равные или делителям

Теорема 6.6.8. Для любого положительного целого числа и любого простого числа существуют неприводимые многочлены в степени следовательно, поля с элементами.

Доказательство этой теоремы основывается на том факте, что не существует достаточного числа многочленов степени или меньше, составляющих все делители многочлена Прежде чем использовать это соображение, нужно доказать следующую лемму.

Лемма. Многочлен рассматриваемый как многочлен над не имеет кратных нормированных неприводимых делителей положительной степени.

Доказательство. Предположим, что нормированный неприводимый делитель степени в разложении Так как делится на то делится на [см. (6.6.19)]. Поэтому

где

Существование предполагает существование поля Галуа и поэтому не может быть кратным делителем Кроме минимальный многочлен некоторого элемента а из поэтому если делится на то а — корень Вместе с тем, так как делится на порядок элемента а, то

Следовательно,

где число слагаемых в правой части (6.6.22) равно

Так как равно остатку от деления этого числа слагаемых на то Поэтому а не может быть корнем и не может делиться на что завершает доказательство,

Доказательство теоремы. Пусть равно числу нормированных неприводимых делителей многочлена степень которых равна Так как сумма степеней этих делителей равна то получим

Так как все неприводимые делители степени являются делителями многочлена то

Заменяя в на и строя границу сверху с помощью суммирования по всем получаем

Ясно, что это неравенство удовлетворяется при что завершает доказательство.