Профильтрованный шум и разложение Карунена — Лоэва

В качестве примера использования предыдущей теоремы рассмотрим прохождение белого гауссова шума с единичной спектральной плотностью через фильтр с импульсным откликом Будем интересоваться главным образом случаем, когда инвариатный во времени фильтр с ограниченным по времени выходом

Независимо от того, удовлетворяется (8.4.34) или нет, будем пред» полагать, что интегрируема в квадрате. Пусть соответственно собственные функции на входе, собственные функции на выходе и собственные значения фильтра в смысле теоремы 8.4.1. Пусть представляет собой выборочную функцию белого гауссова шума с единичной спектральной плотностью. Напомним, что, как это следует из предыдущего рассмотрения белого гауссова шума, эта выборочная функция не является вполне определенной функцией времени, однако по предположению действие на линейный фильтр вполне определено. Таким образом, положим, что выход фильтра соответствующий входу

Определим также равенствами

Из (8.1.41) видно, что статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Величины могут быть связаны с помощью подстановки в (8.4.35) разложения для, задаваемого (8.4.23)

Теперь обозначим остаточный член в (8.4.38) через и положим

Из (8.1.47), подставляя вместо , имеем

Так как стремится к 0 с возрастанием в смысле предела в среднем, то

В силу того, что неотрицательна, из (8.4.40) следует, что почти всюду с вероятностью 1. Следовательно, можно представить в виде

Так как — независимые случайные величины с дисперсией 1, то независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними, удовлетворяющие соотношению

Разложение в (8.4.41) известно как разложение Карунена — Лоэва. Мы видим, что функции особенно удобны для представления по двум причинам. Во-первых, они ортонормальны, и, во-вторых, случайные величины статистически независимы.

Заметим, что мы не показали, что множество функций полно, а показали лишь, что оно достаточно полно для того, чтобы представить выход фильтра после прохождения через него белого гауссова шума. Покажем теперь, что если ограничено во времени согласно (8.4.34), то множество является полным на интервале

Предположим, что функция интегрируема в квадрате, отлична от нуля только в интервале и ортогональна ко всем Тогда из (8.4.19) получаем

Полагая, что преобразования Фурье и применяя теорему о свертке, получаем из (8.4.44)

Далее покажем, что аналитическая всюду функция следовательно, равенство на любом интервале, где означает, что равны нулю все члены в разложении в ряд Тейлора в окрестности какой-либо точки этого интервала; это, в свою очередь, означет, что всюду. Имеем

Так как интегрируема в квадрате, то существует и конечна для всех комплексных Следовательно, аналитическая функция и почти всюду.

Автокорреляция выходного процесса, т. е. функция может теперь быть найдена с помощью (8.4.41)

Изменяя порядок суммирования и усреднения и используя (8.4.43), получаем

где задается равенством

Эти равенства справедливы в обычном среднеквадрэтическом смысле.

В этом месте можно вновь рассмотреть предыдущее изложение, начиная с предположения, что выборочная функция или усеченная выборочная функция произвольного гауссовского случайного процесса с нулевым средним и автокорреляционной функцией В предположении, что интегрируема в квадрате, можно положить, что и собственные функции и собственные значения (8.4.13). Можно опять представить в виде (8.4.37) и коэффициент ты будут совместно гауссовскими с нулевыми средними. Покажем теперь, что коэффициенты будут некоррелированы и, следовательно, статистически независимыми. Имеем

Далее нужно исследовать, будет ли равен нулю остаточный член

Применяя неравенство Бесселя в виде (8.1.5), имеем

Если имеется некоторая интегрируемая в квадрате функция для которой корреляция на выходе, задаваемая (8.4.48), то Из (8.4.24) следует, что это выражение равно и равно нулю почти всюду с вероятностью 1.

Если также конечно и непрерывна, то теорема Мерсера утверждает, что (8.4.26) сходится равномерно для всех Подставляя (8.4.26) в (8.4.52) и интегрируя, находим, что правая часть опять равна нулю. Из математических соображений следует, что не равна нулю для полностью произвольных автокорреляционных функций. Например, если равна сумме непрерывной функции и функции, которая равна 1 для и равна 0 в других точках, то добавляемая функция не отражается на или однако она изменяет В последующем изложении мы будем игнорировать такие паталогии, поскольку они не соответствуют случаям, представляющим какой-либо физический интерес. Таким образом, для всех случаев, представляющих интерес, опять приходим к представлению Карунена — Лоэва (8.4.41)

Подытоживая изложенные выше результаты, получаем, что профильтрованный гауссов белый шум можно представить в виде (8.4.41) и гауссовский случайный процесс с автокорреляционной функцией можно представить в виде (8.4.41). Следовательно, если для заданной автокорреляционной функции случайного процесса можно найти функцию которая удовлетворяет (8.4.48), то этот случайный процесс можно рассматривать как результат прохождения белого шума через фильтр Рассмотрение небелого гауссова шума как профильтрованного белого шума является весьма полезным в различных задачах.

В случае стационарного гауссовского процесса с интегрируемой спектральной плотностью довольно легко найти удовлетворяющую (8.4.48). Определим

Полагая, что является усеченным вариантом и задается (8.4.34), имеем

Здесь автокорреляционная функция процесса, задаваемая обратным преобразованием Фурье Полагая равной для и меньших или равных получаем (8.4.48). Для проверки заметим, что если белый шум подать на фильтр, например, с частотным откликом то на выходе будет процесс со спектральной плотностью