Вероятность ошибки для ортогональных кодовых слов

Пусть — ортогональные сигналы, имеющие энергию здесь, так же как и для случая двух кодовых слов, выбирается масштаб амплитуды, нормирующий шум. Шум

предполагается аддитивным гауссовым и белым. Определим ортонормальное множество следующим образом:

Тогда представляется в виде где А стоит на позиции. Пусть принятая функция и пусть Если передано сообщение то а для имеем где независимые нормированные гауссовские случайные величины. Полагая ум), имеем условные совместные плотности вероятностей

Будем считать, что используется декодирование по максимуму правдоподобия. Из (8.2.31) видно, что правило декодирования состоит в том, что выбирается для которого наибольшее. При этом, если послано сообщение то вероятность ошибки равна вероятности того, что некоторого Эту вероятность можно записать в виде

где, для заданного вероятность того, что, для некоторого Эта вероятность равна единице минус вероятность того, что Для всех и так как все незавит симые нормированные гауссовские случайные величины, то имеем

Равенства (8.2.32) и (8.12.33) дают точное выражение для оно было табулировано Витерби (1961) для различных значений Однако здесь мы хотим найти простые и допускающие наглядное толкование границы для

Для того чтобы получить весьма простую первоначальную границу, заметим, что для заданных вероятность, что когда передано равна вероятности ошибки для двух кодовых слов, определенной в (8.2.24) при Следовательно, используя аддитивную границу для возможных выборов имеем

При другом методе, который оказывается лучшим, когда велико, можно использовать аддитивную границу для и получить

Для малых правая часть (8.2.35) больше 1, хотя всегда не больше чем 1. Определим из равенства

Для больших значение является приближенным значением для которого Поэтому мы используем (8.2.35) для для После этого (8.2.32) принимает вид

Оценим теперь используя следующее известное неравенство для гауссовской функции распределения при

Подставляя правую часть (8.2.38) в (8.2.37) и оценивая сверху в интеграле величиной получаем

Раскрывая квадрат в подынтегральном выражении и оценивая сверху величиной будем иметь

Если то можно применить (8.2.38) для обоих слагаемых в (8.2.39). Экспонента в каждом слагаемом будет одной и той же, что дает

Пусть теперь сигналы имеют продолжительность Т и мощность Тогда

где С — пропускная способность канала, измеренная в натуральных единицах в секунду. Из (8.2.36) также имеем

где скорость, измеренная натуральных единицах в секунду. Следовательно, (8.2.40) справедливо при и после подстановки приведенных выше выражений (8.2.40) принимает вид

Для используем (8.2.34). Оценивая сверху величиной и применяя (8.2.38), получаем из (8.2.34)

Неравенства (8.2.43) и (8.2.44) показывают, что для любого заданного вероятность ошибки стремится к нулю по меньшей мере экспоненциально с ростом Показатель экспоненты (равный для и равный для изображен на рис. 8.2.4. Из рисунка видно, что рассматриваемый показатель экспоненты имеет такой же вид, как кривая зависимости показателя экспоненты от скорости для каналов с очень большим шумом. Это неудивительно, поскольку для больших Т число дискретных по времени каналов, требуемых для представления кодовых слов, растет экспоненциально и отношение средней энергии сигнала к шуму на одну степень свободы стремится к 0.

Рис. 8.2.4. Показатель экспоненты в зависимости от скорости для канала с белым гауссовым шумом.

Эти результаты можно сравнить с результатами гл. 7, соответствующими тому же каналу, но с ограничением на число степеней свободы в секунду. Из сравнения видно, что потеря в показателе экспоненты, вызываемаяограничением, мала, если только число степеней свободы достаточно для того, чтобы сделать энергетическое отношение сигнал/шум на степень свободы меньше чем 1.

Оценим теперь снизу Пусть у — некоторое число, определяемое ниже. Используя (8.2.32) и учитывая, что убывает с получаем

Другими словами, оценивается снизу с помощью подсчета только тех ошибок, для которых у для некоторого

Используя биномиальное разложение для данное в (8.2.33), получаем

Это знакопеременный ряд и первые два члена дают нижнюю границу для Это следует из того, что либо члены убывают по величине, либо оценка отрицательна. Для можно оценить дальше следующим образом:

Здесь было использовано (8 2.38) для оценки снизу — а затем то, что Подставляя (8.2.47) в (8.2.46), используя соотношение еще раз и оценивая снизу с помощью (8.2.38), получаем

Граница (8.2.48) справедлива для любых у, находящихся между Экспоненциальный множитель максимизируется для при и для при Отсюда, используя можно привести к виду

Отсюда видно, что экспоненты в этих нижних границах совпадают с экспонентами верхних границ для всех

Так как симплексный код имеет ту же вероятность ошибки, что и ортогональный код с энергией, большей в раз, то можно применить границы (8.2.43), (8.2.44), (8.2.49) и (8.2.50) для симплексного кода, заменив лишь во всех равенствах на