6.6. ПОЛЯ ГАЛУА

В настоящем параграфе будет изучена несколько подробнее, чем в § 6.4, структура полей Галуа. Полученные результаты потребуются нам в следующем параграфе, посвященном кодам Боуза-Чоудхури - Хоквингема (БЧХ); они играют главенствующую роль во многих проводящихся в настоящее время исследованиях по технике алгебраического кодирования.

Начнем с изучения мультипликативного порядка различных ненулевых элементов поля Галуа состоящего из элементов. Так как ненулевые элементы поля, обозначенные, допустим, символами образуют абелеву группу по умножению в рассматриваемом поле, то из теоремы 6.3.2 следует, что каждый из этих элементов имеет мультипликативный порядок, на который делится число Поэтому при всех Отсюда следует, что каждый элемент является корнем многочлена [рассматриваемого здесь в качестве многочлена над Так как степень этого многочлена равна и известны ровно его различных корней, т. е. то получим

Например, в поле целых чисел по модулю 3 это равенство будет

которое, очевидно, удовлетворяется, если производить сложение и ум ножение целых чисел по модулю 3.

Выше было показано, что все ненулевые элементы поля, состоящего из элементов, имеют мультипликативный порядок, на который делится число Примитивным элементом поля из элементов называется элемент, у которого мультипликативный порядок точно равен Если можно найти некоторый примитивный элемент поля, допустим а, то последовательность содержит все ненулевые элементы поля, а мультипликативная группа ненулевых элементов поля является циклической. При этом ясно, что не представляет труда нахождение мультипликативного порядка любого элемента, являющегося степенью элемента а (см. задачу 6.26).

Теорема 6.6.1. Любое поле Галуа содержит примитивный элемент.

Доказательство. Пусть максимальный мультипликативный порядок ненулевых элементов поля равен Из теоремы 6.3.3. следует, что каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный порядок, который является делителем и поэтому этот элемент является корнем Так как этот многочлен имеет корней, то имеем Поскольку согласно (6.6.1) каждый ненулевой элемент поля имеет мультипликативный порядок, на который делится число то что завершает доказательство.

Доказанная выше теорема в принципе полностью характеризует мультипликативную группу ненулевых элементов поля Галуа, однако она ничего не говорит о структуре аддитивной группы или о связи между умножением и сложением. Ниже эта связь будет найдена и показано, что все поля Галуа могут быть представлены как поля многочленов по модулю неприводимого многочлена. Прежде всего определим подполе некоторого поля как поле, элементы которого образуют подмножество элементов первоначального поля с операциями сложения и умножения, совпадающими с операциями первоначального поля. Если какое-либо поле имеет подполе то говорят, что является расширением

Теорема 6.6.2. Любое поле Галуа содержит единственное подполе, число элементов в котором простое.

Доказательство. Любое подполе должно содержать элементы поля 0 и 1. Оно должно также включать в себя и т. д. Обозначим эти получающиеся при сложении элементы через из теоремы 6.3.2 следует, что эти элементы, называемые целыми элементами поля, образуют циклическую подгруппу по операции сложения. Если эта подгруппа имеет элементов, то сложение этих элементов является сложением по модулю Согласно дистрибутивному закону умножение этих элементов также является умножением по модулю [т. е. Отсюда следует, что число простое, поскольку если бы было произведением двух целых чисел то для соответствующих им целых элементов поля удовлетворялось бы равенство Это невозможно, так как ненулевые элементы первоначального поля. Как было показано, целые по модулю простого числа элементы образуют поле, поэтому это поле как раз и является тем подполем, которое разыскивается.

Наконец, любое другое подполе должно содержать эти целые элементы поля, а аддитивная группа любого подполя должна содержать эти целые элементы как подгруппу. Поэтому число элементов в любом другом подполе делится на и потому не является простым.

Из этой теоремы непосредственно следует, что любое поле или подполе о простым числом элементов является при соответствующей нумерации элементов полем целых элементов по модулю простого числа. Характеристикой поля Галуа называется число элементов в определенном выше простом подполе.

Если многочлен над полем и если поле является расширением то говорят, что элемент а из является корнем многочлена когда т. е. когда

В качестве часто используемого примера укажем, что привычно находить комплексные корни многочленов над полем действительных чисел. Если является подполем поля Галуа то минимальный многочлен над элемента а, принадлежащего определяется как нормированный многочлен минимальной степени над у которого а является корнем. В дальнейшем во всех случаях, когда подполе явно не определено, мы будем иметь в виду подполе с простым числом элементов, фигурирующее в теореме 6.6.2.

Теорема 6.6.3. Для любого подполя поля Галуа каждому ненулевому элементу а, принадлежащему соответствует единственный минимальный многочлен над причем неприводимый. Более того, для любого многочлена над многочлен является делителем тогда и только тогда, когда а является корнем

Доказательство. Было уже показано, что а является корнем Так как можно рассматривать как многочлен над то отсюда следует существование таких многочленов над для которых а является корнем, и, следовательно, существует некоторый нормированный многочлен минимальной степени, обозначаемый для которого а является корнем. Если бы был приводимым, то он мог бы быть представлен в виде произведения двух нормированных многочленов меньшей степени над полем т. е. Отсюда следует, что и так как элементы, принадлежащие то один из них должен быть равным 0, что противоречит предположению о том, что имеет минимальную степень. Поэтому неприводим. Тогда для любого над

где многочлен над Е, степень которого меньше степени/а Так как то Поэтому тогда и только тогда, когда Но поскольку степень меньше, чем степень то получаем, что в свою очередь, тогда и

только тогда, когда является нулевым многочленом. Поэтому тогда и только тогда, когда является делителем Наконец, если является нормированным многочленом той же самой степени, что и то равенство выполняется лишь при что доказывает единственность

В доказанной выше теореме утверждение о неприводимости многочлена означает, что над полем не существует многочленов меньшей степени, произведение которых было бы равно Если интерпретировать как многочлен над то а является очевидным делителем

Следствие. Пусть подполе поля Галуа и пусть различные минимальные многочлены над соответствующие ненулевым элементам [т. е. последовательность из которой исключены одинаковые многочлены]. Тогда

Заметим, что соотношение (6.6.1) описывает разложение на неприводимые многочлены над на неприводимые многочлены над

Доказательство. Так как ненулевые элементы из являются корнями то каждый минимальный многочлен является делителем Поскольку минимальные многочлены неприводимы (над полем то произведение также является делителем Наконец, все ненулевые элементы являются корнями многочлена

Следовательно, указанное выше произведение имеет степень, не меньшую и (6.6.3) выполняется.

Теорема 6.6.4. Пусть а — примитивный элемент поля Галуа характеристики и пусть степень минимального многочлена над элемента а равна Тогда число элементов в поле Галуа равно и каждый элемент поля может быть представлен в виде

при некотором наборе целых элементов поля

Доказательство. Так как а является корнем то имеем или

Поскольку каждый из коэффициентов является целым элементом

поля, то нетрудно видеть, что элемент может быть представлен в виде (6.6.4). Умножая (6.6.5) на а, получаем

В силу того, что можно представить в виде (6.6.4), также можно представить в таком виде; последовательно умножая (6.6.6) на более высокие степени а, убеждаемся, что все степени а могут быть представлены в виде (6.6.4). Поэтому каждый элемент может быть представлен в виде (6.6.4). Теперь допустим, что имеются два различных множества целых элементов поля, входящих в (6.6.4), например которые соответствуют одному и тому же элементу из Тогда

Отсюда следует, что а является корнем многочлена

что невозможно, поскольку степень этого многочлена меньше Поэтому каждый из наборов соответствует различным элементам поля и так как существует всего таких наборов целых элементов поля, то.

Эта теорема имеет ряд интересных следствий. Во-первых, поскольку характеристикой всякого поля Галуа является некоторое простое число то число элементов во всяком поле Галуа должно представляться в виде где некоторое простое число, некоторое целое число. Далее, если в соотношении (6.6.4) заменить а на не определенную то можно убедиться, что множество элементов поля может рассматриваться как множество многочленов над степени, не большей умножением по модулю Другими словами, это поле после введения в нем новых обозначений элементов будет совпадать с полем многочленов над по модулю (т. е. будет иметь то же самое множество элементов и те же самые правила сложения и умножения). Два таких поля, отличающиеся лишь обозначениями элементов, называются изоморфными; из приведенных рассуждений следует, что всякое поле с элементами изоморфно некоторому полю многочленов над по модулю некоторого неприводимого многочлена степени Наконец, согласно (6.6.3) из единственности разложения многочлена над на неприводимые множители следует, что всякое поле с элементами имеет одно и то же множество минимальных многочленов. Поэтому в любом поле с элементами можно выбрать в качестве а корень фиксированного многочлена использованного в теореме (6.6.4), и представить все элементы поля в виде (6.6.4). Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 6.6.5. Все поля Галуа с элементами изоморфны данному полю многочленов над по модулю неприводимого многочлена степени.