8.5. КАНАЛЫ С АДДИТИВНЫМ ГАУССОВЫМ ШУМОМ И СИГНАЛАМИ НА ВХОДЕ, ОГРАНИЧЕННЫМИ ПО МОЩНОСТИ И ПО ЧАСТОТЕ

В этом параграфе результаты, полученные в предыдущем параграфе, используются для того, чтобы получить строгое решение задач, рассмотренных в § 8.3. Канал изображен на рис. 8.5.1. Вход рассматривается на временном интервале и проходит через линейный инвариантный во времени фильтр с импульсным откликом и частотной характеристикой Стационарный гауссов шум с нулевым средним и спектральной плотностью добавляется к выходу фильтра и результат наблюдается на интервале Вход ограничен по мощности величиной

Рис. 8.5.1.

В обращении теоремы кодирования под этим будет пониматься, что математическое ожидание величины

не более Для теоремы кодирования будет использоваться более сильное ограничение

для каждого кодового слова.

Покажем сначала, как свести непрерывный по времени канал, изображенный на рис. 8.5.1, к множеству параллельных дискретных по времени каналов с аддитивными гауссовыми шумами. Тогда могут быть непосредственно применены результаты § 7.5. Затем рассмотрим более трудную задачу о переходе к пределу при с» и условии Окончательные результаты будут те же самые, как и в § 8,3. В дальнейшем будем предполагать, что

а также, что или или что шум белый (т. е. не зависит от

Одним из недостатков развиваемого здесь подхода является предположение о том, что вход равен нулю вне интервала Другими словами, когда здесь будет использоваться кодовое ограничение длины то не будет учитываться межсимвольная интерференция между последовательными кодовыми словами. Это не приводит к каким-либо трудностям при рассмотрении обращения теоремы кодирования, так как легко показать, что межсимвольная интерференция не может уменьшить вероятность ошибки. Также не возникают трудности при доказательстве того, что сколь угодно малая вероятность ошибки может быть достигнута при любой скорости, меньшей пропускной способности, так как в принципе можно передавать только одно кодовое слово сколь угодно большой длины. Кажется также, что межсимвольная интерференция не уменьшает показатель экспоненты вероятности ошибки в пределе, когда Т становится большим, однако до сих пор это строго не доказано. Интуитивные соображения состоят в следующем. Если при некотором малом отделить кодовые слова длительности Т в канале защитным интервалом то в пределе при отношение защитного интервала к длине кодового слова стремится к 0. Вместе с тем вклад в энергию на любом наблюдаемом интервале, вносимый кодовыми словами из других интервалов, стремится к нулю при следовательно, этот вклад не должен влиять на вероятность ошибки.

В § 8.4 было показано, что гауссов шум с интегрируемой и конечной спектральной плотностью может рассматриваться как результат прохождения белого гауссова шума единичной спектральной плотности через (нереализуемый) фильтр с частотной характеристикой и импульсным откликом

Так как четная функция то действительная функция, и так как интегрируема в квадрате, то также интегрируема

в квадрате. Если шум белый со спектральной плотностью то фильтр можно рассматривать как умножитель, усиливающий вход в раз.

Разобьем умозрительно фильтр на две части, одну с частотной характеристикой и другую с частотной характеристикой (рис. 8.5.2). Опять, если второй фильтр следует рассматривать как умножитель. Если равны нулю для какого-либо то положим, по определению, равным нулю в этой точке Читателю со слабым радиотехническим образованием было бы полезно проверить, что частотная характеристика двух последовательных линейных инвариантных во времени фильтров действительно равна произведению частотных характеристик. Обозначим импульсный отклик фильтра через

Рис. 8.5.2. Эквивалентное представление рис. 8.5.1.

Функция подобно действительная и интегрируема в квадрате.

Вход и выход первоначального фильтра связаны в терминах новых фильтров и соотношениями

Так как и белый шум (рис. 8.5.2) фильтруются одним и тем же фильтром и затем складываются, то систему можно представить в виде, указанном на рис. 8.5.3, где белый шум непосредственно добавляется к и затем результат фильтруется с помощью Хотя канал, изображенный на рис. 8.5.3, выглядит совсем отличным от канала на рис. 8.5.1, они тождественны в том смысле, что выходная функция в обоих случаях равна сумме и гауссова шума со спектральной плотностью пока мы основываемся на том, что приемник

наблюдает только эти рисунки можно использовать на равных основаниях.

Для того чтобы использовать разложения последнего параграфа, удобно заменить инвариантные во времени фильтры рис. 8.5.3 на меняющиеся во времени фильтры, которые автоматически ограничивают вход интервалом и выход интервалом

Рис. 8.5.3 Эквивалентное представление рис 8 5.1.

Таким образом, определим

Этот канал изображен на рис. 8.5.4, однако ограничения на длительность входа и на интервал наблюдения опущены, так как эти операции выполняются в канале.

Рис. 8.5.4. Эквивалентное представление рис. 8.5.1.

Пусть соответственно собственные функции на входе, собственные функции на выходе и собственные значения фильтра в смысле теоремы 8.4.1. Тогда можно представить равенствами

Если можно было бы забыть о фильтре на рис. 8.5.4, то тогда белый шум можно было бы представлять через ортонормальные функции и для каждого приемник мог бы вычислять где независимые нормированные гауссовские случайные величины.

К сожалению, приемник не может даже в принципе вычислить эти величины. Трудность состоит в том, что выход фильтра не

определяет однозначно вход фильтра. Другими словами, в общем случае существует ненулевой вход фильтра для которого выход равен нулю. Аналитически, пусть для соответственно входные и выходные собственные функции и собственные значения Тогда из (8 4.15) следует, что вход фильтра приводит к нулевому выходу тогда и только тогда, когда вход ортогонален к при всех

Теперь предположим, что (сигнал на входе фильтра разделен на две компоненты: одна линейная комбинация и другая — ортогональная ко всем Если фильтр изменит так, чтобы он подавил компоненту, ортогональную ко всем то это не изменит сигнал на выходе Вместе с тем ниже будет показано, что, когда изменяется таким образом, фильтр не разрушает информацию о

Для того чтобы точно описать, как следует изменить фильтр заметим, что выход фильтра задается равенством

Требуется заменить фильтр на новый фильтр с выходом

Подставляя (8.5.10) в (8.5.11) и изменяя порядок интегрирования, получаем

Следовательно, модифицированный фильтр должен иметь отклик

Теперь можно заменить фильтр на рис. 8.5.4 на фильтр что показано на рис. 8.5.5.

Рис. 8.5.5. Эквивалентное представление рис. 8 5.1.

Таким образом, на рис. 8.5.5 отличается от на рис. 8.5.4 только членом, ортогональным ко всем собственным функциям следовательно, отклик изображенный на рис. 8.5.5, в точности равен отклику на рис. 8.5.4. В частном случае, когда действие сводится к тому, что вход умножается на при определяется

аналогично с помощью равенства

Далее покажем, что интегрируема в квадрате, что позволяет использовать разложения § 8.4. Заметим, что для Ко, задаваемого (8.5.13), и для любого данного функция является разложением по функциям Следовательно, по неравенству Бесселя

Для задаваемого (8.5.14), интегрируемость в квадрате Ко непосредственно следует из интегрируемости в квадрате

Теперь пусть (для соответственно входные и выходные собственные функции и собственные значения фильтра в смысле теоремы 8.4.1. Как было указано выше, нам не нужно заниматься нахождением собственных функций, а нужно лишь исследовать их предельное поведение при Таким образом, сложное выражение (8.5.13) для Ко в действительности не представляет особого интереса. Функции можно разложить в виде

Как отмечено выше, не вполне определена, так как содержит белый гауссов шум, однако в соответствии с определением белого гауссового шума коэффициенты четко определены и случайные величины независимые нормированные гауссовские случайные величины. Остаточный член в (8.5.19) представляет собой компоненту шума, ортогональную ко всем функциям Точнее, для всех Точно так же для любой функции с единичной энергией, ортогональной к при всех величина является нормированной гауссовской случайной величиной, не зависимой от всех и Если образовать множество ортонормальных функций каждая из которых ортонормирована с функциями множества то канал может быть представлен как бесконечное множество параллельных каналов, соединенных последовательно с фильтром (рис. 8.5.6). В последующем изложении

будет показано, что коэффициенты могут быть определены по выходу канала

Теперь предположим, что функция известна приемнику (т. е. известны последовательность и последовательность Для любой вероятностной меры, заданной на средняя взаимная информация между равна, очевидно, средней взаимной информации между последовательностью и последовательностью (так как последовательность на рис. 8.5.6 не зависит от пары Аналогично для любого множества кодовых слов декодирование по максимуму правдоподобия и декодирование по максимуму апостериорной вероятности зависит только от последовательности

Рис. 8.5.6. Эквивалентное представление рис. 8.5.1.

Рис. 8.5.7. Окончательное представление рис. 8.5.1.

Следовательно, только последовательность является существенной в сигнале Покажем теперь, что последовательность может быть определена по окончательному выходу канала Так как определяется по то отсюда следует, что дополнительные шумы можно не рассматривать (это и так почти очевидно) и канал можно представить в виде, изображенном на рис. 8.5.7. На рис. 8.5.7 аддитивный шум помещен слева от умножителя, для того чтобы сделать окончательное представление эквивалентным модели параллельного канала из § 7.5. Шум в канале является теперь гауссовской случайной величиной с нулевым средним и дисперсией

Лемма 8.5.1. Определенная выше последовательность случайных величин может быть однозначно найдена по выходу канала

Доказательство. Если шум белый, то и доказательство тривиально. Для небелого шума величины определяются через выходные собственные функции фильтра с помощью равенства

Из (8.5.11) следует, что выход фильтра при любом входе является линейной комбинацией входных собственных функций

фильтра Следовательно, для каждого функция является линейной комбинацией функций множества и может быть представлена в виде

(Следует отметить, что в общем случае это разложение не может быть получено для выходных собственных функций фильтра и фактически это вызвало введение фильтра Подставляя (8.5.21) в (8 5.20), изменяя порядок суммирования и интегрирования для произвольного числа слагаемых, получаем

В терминах выходных собственных функций фильтра имеем

Однако

Из (8.4 42) имеем

Сочетая (8.5.24) и (8.5.25), имеем

Подставляя это выражение в (8.5.22), получаем

Покажем теперь, что остаточный член в (8.5.27) стремится к нулю при Имеем

Первое выражение в правой части (8.5.28) может быть оценено с помощью неравенства Шварца

В силу ортонормальности функций множества из (8.5.21) следует, что и поэтому Так как имеет конечную энергию, то из (8.5.29) вытекает, что

Аналогично, последнее выражение в правой части (8.5.28) является гауссовской случайной величиной с нулевым средним и дисперсией

Таким образом, это выражение сходится в среднем квадрэтическом к нулю при и

что завершает доказательство.

Заметим, что в (8.5.30) не утверждается существование

и в действительности эта функция не существует в общем случае. Это означает, что в общем случае у, не могут быть вычислены точно по с помощью лишь корреляционной операции, хотя они могут быть аппроксимированы с помощью этой операции сколь угодно точно.

Как было показано, модель параллельного канала на рис. 8.5.7 эквивалентна модели канала на рис. 8.5.1. Теперь мэжно применить теорему 7.5.1 для определения максимума средней взаимной информации и теорему 7.5.2 для определения верхних границ минимальной достижимой вероятности ошибки при любой заданной длительности Т на входе и интервала наблюдения Ограничение на энергию 8 в этих теоремах должно быть заменено на а дисперсии шума на

Далее исследуем поведение собственных значений в пределе, когда стремятся к Проведем это с помощью ряда лемм, сначала исследуя предельное поведение собственных значений фильтра и затем устанавливая связь между множеством и собственными значениями X, фильтра Читатель при первом чтении может опустить доказательства. Для заданного интервала Т

собственные значения (обозначаемые в дальнейшем, как являются решениями интегрального уравнения [см. (8.4.10) и (8.4.56)]

где

Поведение множества собственных значений в пределе при было исследовано Кацем, Мардоком и Сеге (1953). Полученный ими результат формулируется в нижеследующей лемме и читатель, интересующийся доказательством, должен обратиться к книге Гренандера и Сеге (1958).

Лемма 8.5.2. Пусть -действительная функция, преобразование Фурье которой действительная интегрируемая ограниченная функция Для любого обозначим через число собственных значений уравнения (8.5.32), удовлетворяющих неравенствам Тогда, если одновременно положительны (или отрицательны), и если множество точек для которых а или имеет меру нуль (т. е. если не равна а или на некотором ненулевом интервале), то

Заметим, что (8.5.34) представляет собой как раз тот результат, который нужен, когда собственные функции (8.5.32) аппроксимируют рассмотренное в § 8.3 множество синусов и косинусов, разделенных по частоте

Для приложений интересно не число собственных значений в данной области, а асимптотическое поведение суммы функций от собственных значений. Следующая лемма относится к этой задаче.

Лемма 8.5.3. Пусть корреляционная функция с собственными значениями определяемыми уравнением (8.5.32), и пусть преобразование Фурье Предположим, что интегрируема и ограничена. Пусть неубывающая функция определенная для Пусть кроме того -функция с ограниченным наклоном, удовлетворяющая для некоторого фиксированного числа В и всех неравенству Тогда

Доказательство. Так как ограничена, то можно найти достаточно большое число А, такое, что

Умножая (8.5.32) на и интегрируя обе части по получаем

Следовательно, при Есех Т все собственные значения меньше, чем Теперь пусть произвольно малое положительное Число. Поскольку интегрируема, то можно выбрать достаточно большим так, что

Пусть положительное число, Тогда

Теперь пусть множество чисел, для которого Кроме того, пусть эти числа таковы, что множество для которых имеет меру нуль. Для любого имеем

где число целых для которых Заметим, что центральная часть выражения (8.5.38) равна как раз сумма берется по тем для которых Разделив все члены (8.5.38) на переходя к пределу при и используя (8.5.34), получим

Заметим, что внешние части (8.5.39) также ограничивают где интеграл берется по множеству для которого Следовательно, разность внешних частей ограничивает разность между центральной частью в (8.5.39) и этим интегралом. Таким образом,

Далее рассмотрим значения для которых Заметим, что поскольку величины в (8.5.40) были выбраны независимо от функции то (8.5.40) также справедливо для частного случая поэтому

Теперь пусть Из (8.4.24) следует, что для любого

где в соотношении (8.5.42) использовано равенство Парсеваля для преобразований Фурье (8.1.23). Подставляя (8.5.42) в (8.5.41), получаем

Тогда из (8.5.37) имеем

Так как

Аналогично

Сочетая (8.5.45) и (8.5.46) с (8.5.40), получаем

Так как произвольно, то этим завершается доказательство.

Цель следующих трех лемм показать, что при стремлении результат (8.5.34) применим также к собственным значениям фильтра

Лемма 8. 5. 4. Пусть любые заданные положительные числа и пусть -множество собственных чисел для и -множество собственных чисел для упорядоченных, как указано в теореме 8.4.1. Тогда для всех

Доказательство. Первые входных собственных функций связанных с линейно независимы и, следовательно, все они не могут быть линейными комбинациями первых собственных функций связанных с Поэтому можно выбрать функцию

которая является линейной комбинацией и ортогональна к Тогда может быть также представлена с помощью множества функций в виде

Функцию можно нормировать к единичной энергии, так что

Отклики фильтров на задаются соотношениями

Для , задаваемого равенством (8.5.13), является проекцией на пространство, порожденное следовательно, Для , задаваемого равенством (8.5.14), равна усеченной вне интервала и справедлив тот же самый результат. Сочетая этот результат с (8 5 53) и (8.5.54), имеем

Для простоты предположим теперь, выходной интервал равен входному интервалу Обозначая через собственные значения фильтров соответственно, мы хотим

показать, что стремится к в пределе при Ключом к этому результату служит следующая лемма, которая является небольшим обобщением результата Келли, Рида и Рута.

Лемма 8.5.5. Пусть для функции из

т. е. представляет фильтр с выходом на временном интервале Пусть входные собственные функции фильтра в смысле теоремы 8.4.1. Пусть удовлетворяют неравенству

Тогда, если функция ортогональна к при всех то также ортогональна к всех Кроме того, если разлагается в виде

и если преобразование Фурье равно нулю всюду, где преобразование Фурье равно нулю, то

В сущности, лемма устанавливает, что когда Т неограниченно возрастает, произвольную функцию можно представить все лучше и лучше с помощью множества функций или временных сдвигов

Доказательство. Если ортогонально к при всех то

В силу (8.4.15) это означает, что

Подставляя получаем

Из (8.5.55) вытекает, что (8.5.58) должно удовлетвориться для используя утверждения (8.4.15) в обратном направлении, находим, что ортогональна к при всех

Далее покажем, что при Так как по определению ортогональна к при всех то, используя (8.5.56), получаем

Для также получаем, что ортогональна к при всех Используя вместо Т в (8.5.56) и подставляя это выражение в (8.5.59), получаем

Применяя неравенство Шварца к левой части (8.5.60), видим, что

Следовательно, убывает с и должна стремиться к пределу. Наконец, используя (8.5.59) и (8.5.60), имеем

Так как стремится к пределу, то предел правой части (8.5.60) при стремящимся к равен 0. Поэтому сходится к предельной функции и эта предельная функция ортогональна к при всех и всех Однако, в силу (8.4.15), это означает, что

Взяв преобразование Фурье от (8.5.62), находим

По предположению когда равно 0; следовательно, и соотношение (8.5.57) установлено,

Лемма 8.5.6. Пусть — собственные значения соответственно фильтров где равно усеченному вне и Ко задается равенством (8.5.13) или (8.5.14) при Тогда

Доказательство. Используя (8.4.24), имеем

Так как то для доказательства леммы достаточно показать, что для каждого

Для задаваемого (8.5.13), положим равным из предыдущей леммы, и из (8.5.13) видим, что Ко, играет роль Так как когда то предыдущая

лемма утверждает, что Ко, стремится к при стремящемся к бесконечности, и для любого можно выбрать так, чтобы

Далее выпишем

Следовательно, является проекцией на множество функций Остаток [т. е. часть ортогональная ко всем согласно предыдущей лемме, также ортогонален ко всем если Таким образом, энергия остатка ограничена сверху энергией остатка разложения по функциям множества Из (8.5.66) вытекает, что эта энергия ограничена сверху и

Неравенство (8.5.68) справедливо в области значений указанной в правой части (8.5.69). Теперь имеем

Переходя к пределу в (8.5.70) при получаем (8.5.65).

Если шум в канале белый, то задается (8.5.14) и непосредственно видно, что (8.5.68) опять удовлетворяется для любого и достаточно большего Те. Таким образом, как и ранее, получаем (8.5.63).

Теперь следующая лемма связывает полученные результаты вместе.

Лемма 8.5.7. Пусть для канала рис. и предположим, что ограниченная и интегрируемая функция. Пусть неубывающая функция ограниченного наклона, определенная при Тогда собственные числа фильтра удовлетворяют соотношению

Доказательство. Пусть В — верхняя граница наклона Тогда, так как то

Из леммы 8.5.6 следует, что

Это равенство в сочетании с леммой 8.5.3 завершает доказательство.

Теперь можно использовать эту лемму для нахождения пропускной способности канала рис. 8.5.1 при ограничении на мощность и найти экспоненциальные границы для вероятности ошибки. Для того чтобы определить пропускную способность канала при ограниченной мощности на входе, определим сначала как умноженный на максимум средней взаимной информации между когда рассматриваются на временном интервале и максимизация проводится по всем распределениям вероятностей на входе при условии, что математическое ожидание не больше, чем Фактически уже было найдено на основе изображенного на рис. 8.5.7 представления в виде параллельных каналов и на основе теоремы 7.5.1. Пропускная способность определяется по формуле

Существование этого предела доказывается в следующей теореме.

Теорема 8.5.1. Предположим, что для канала на рис. 8.5.1 с ограничением на мощность функция ограничена и интегрируема и что или или плотность белого шума. Тогда пропускная способность канала С задается параметрически равенствами

Доказательство. Из теоремы следует, что для множества параллельных каналов на рис. 8.5.7 максимум средней взаимной информации на единицу времени связан с ограничением на мощность 5 параметрическими равенствами

т. е. при ограничении на мощность находится значение В, которое удовлетворяет равенству и для этого значения В имеем Если для заданного В определить функцию

то (8.5.74) можно переписать в виде

Отсюда, используя лемму 8.5.7, имеем

Переопределив функцию полагая ее равной 0 для и равной для ту же самую лемму можно применить к (8.5.73). Таким образом,

Пусть при заданном ограничении на мощность значение В удовлетворяет равенству Пусть произвольно мало. Так как непрерывная функция, то существует такое, что Для этого существует некоторое такое, что для

Вместе с тем, так как строго монотонно возрастает с В (для то имеем и существует такое, что для

Наконец, для любого монотонно возрастающая функция мощностного ограничения так что, используя (8.5.81) при имеем Следовательно, при имеем Обращая неравенства, участвующие в

приведенных выше рассуждениях, имеем также для всех достаточно больших Так как произвольно, то отсюда следует, что

что завершает доказательство.

Обращение теоремы кодирования применимо здесь, так же как и для дискретных каналов. Точнее, имеет место следующая теорема. Ее доказательство опускается, так как оно, в сущности, повторяет доказательства, приведенные в гл. 4, 6 и 7.

Теорема 8.5.2. Пусть дискретный стационарный источник с алфавитом объема имеет энтропию и производит одну букву каждые секунд. Пусть последовательность букв источника произвольной длины связана с адресатом посредством непрерывного по времени канала, используемого секунд. Пусть умноженная на верхняя грань средней взаимной информации между входом и выходом канала на этом интервале, взятая по всем распределениям вероятностей на входе. Предположим, что существует и определим

Тогда для любого для всех достаточно больших вероятность ошибки на символ последовательности из букв источника удовлетворяет неравенству

Можно применить те же соображения к границе случайного кодирования и границе для процедуры с выбрасыванием теоремы 7.5.2. Определим

Из теоремы 7.5.2 следует, что для любого выбранного и любого существует код с кодовыми словами, каждое из которых ограничено временным интервалом

имеет энергию не более и вероятность ошибки, ограниченную неравенством

Для фиксированных можно применить лемму 8.5.7 к (8.5.82), (8.5.83) и (8.5.84) точно так же, как в доказательстве теоремы 8.5.1, и получить

С помощью того же типа -рассуждений, как и в предыдущей теореме, найдем, что для любого существует такое, что для всех существуют коды с кодовыми словами, каждое из которых ограничено во времени интервалом — имеет энергию, не большую чем и вероятность ошибки, ограниченную неравенством

Как показано в (7.5.39), коэффициент задается приближенным равенством

где

Из (8.5.91) легко заметить, что и, следовательно,

Из (8.5.92) видно, что при фиксированных для больших Т приближенное выражение в (8.5.90) пропорционально а также видно,

что приближение становится лучше с возрастанием Отсюда следует, что для достаточно больших Т коэффициент в (8.5.89) может быть включен в Таким образом, для любого существует (зависящее от ), такое, что для

Так как значения ограничены интервалом то, так же как в § 7.5, эта граница вероятности ошибки справедлива только в некотором диапазоне скоростей ] и мощностей Поскольку функция строго возрастающая и непрерывная по (для то при фиксированном уравнение определяет В как функцию и это неявно определяет как функцию При значение равно пропускной способности при заданном что можно увидеть, сравнивая (8.5.86) и (8.5.87) с (8.5.72) и (8.5.73). Аналогично при имеем возрастанием при фиксированном (а следовательно, при изменении В) убывает, а возрастает. Как и раньше, наклон как функция R при фиксированном равен Когда возрастает до 1, В убывает до критического значения задаваемого формулой

Соответствующее значение критической скорости задается формулой

Следовательно, при фиксированном граница вероятности ошибки в (8.5.93) справедлива для скоростей из интервала

Для скоростей и любого заданного Т граница вероятности ошибки задается (7.5.60). Как и выше, переходя к пределу, находим, что для любого существует достаточно большое такое, что при всех существует код с кодовыми словами, каждое из которых ограничено временным интервалом имеет энергию, не большую и

Наконец, для границы при процедуре с выбрасыванием, определим величины

Из теоремы 7.5.2 следует, что для любого и любого существует код с кодовыми словами, каждое из которых ограничено во времени интервалом имеет энергию, не большую и вероятность ошибки, удовлетворяющую неравенству

Для фиксированных можно применить лемму 8.5.7 к (8.5.97) и затем к (8.5.99), чтобы получить

Если определить

то из тех же соображений, которые были использованы при переходе от (8.5.90) к (8.5.92), ясно, что

Наконец, применяя -технику, использованную в теореме 8.5.1, получаем, что для любого любого и любого произвольно малого найдется такое, что при существует код с кодовыми словами, каждое из которых ограничено во времени интервалом имеет энергию, не большую и вероятность ошибки, удовлетворяющую неравенству

Для фиксированной мощности при возрастании от 1 значение В убывает от [определенного равенством (8.5.94)] и стремится к

при Соответственно, когда возрастает от 1, значение убывает от до 0, где

Рис. 8.5.8. Кривые показателя экспоненты как функции скорости при фиксированной мощности 5 (различные кривые соответствуют различным

Рис. 8.5.9. Кривые показателя экспоненты как функции мощности при фиксированной скорости R (кривая, расположенная выше, соответствует меньшей скорости).

Аналогично при значение возрастает, стремясь к

На рис. 8.5.8 и 8.5.9 изображено поведение этих показателей экспонент, как функций скорости R и мощности S. Полученные результаты суммируются в следующей теореме.

Теорема 8.5.3. Предположим, что для канала, изображенного на рис. 8.5.1 с выполнены те же условия, что и в теореме 8.5.1. Тогда для любого любого и любого произвольно малого найдется такое, что для любого существует кодовыми словами, каждое из которых ограничено во времени интервалом имеет энергию, не большую и вероятность ошибки, удовлетворяющую неравенству

Для фиксированного функция строго и непрерывно убывает от С до при возрастании от 0 до 1, и строго и непрерывно возрастает при возрастании от 0 до для всех При фиксированном Те, и любой существует код с кодовыми словами, каждое из которых ограничено во времени интервалом имеет энергию, не большую и вероятность ошибки, удовлетворяющую неравенству

Наконец, для любого любого и любого найдется такое, что для Т Те, существует код с кодовыми словами, каждое из которых ограничено во времени интервалом имеет энергию, не большую и вероятность ошибки, удовлетворяющую неравенству

При фиксированном значение убывает от до 0 с возрастанием возрастает с возрастанием Для фиксированного показатель экспоненты как функция скорости, определяемая этими тремя границами (вторая граница применяется для скоростей непрерывен и имеет непрерывные производные.