8.6. ДИСПЕРГИРУЮЩИЕ КАНАЛЫ С ЗАМИРАНИЯМИ

В предыдущих параграфах изучались модели каналов, в которых принятый сигнал был суммой переданного сигнала (быть может профильтрованного и ослабленного известным образом) и гауссова шума. Такая модель обычно подходит для космических каналов связи и, быть может менее точно, для проводных и кабельных каналов связи. Однако во многих системах связи путь, по которому проходит сигнал, изменяется со временем и может быть заранее предсказан только статистически. Изменение приводит к изменениям энергии принятого сигнала во времени (которые называются замираниями), а также к дисперсионным изменениям принятого сигнала во времени. Эти эффекты особенно характерны для систем связи, использующих тропосферное рассеивание, орбитальное дипольное рассеивание и высокочастотную радиосвязь. В последующем изложении сначала будет построена математическая модель связи по таким каналам и затем будет доказана теорема кодирования для этой модели. Построение модели будет проведено без детального обоснования и заинтересованному читателю следует обратиться к книге Кеннеди (1969), в которой проведено подробное рассмотрение таких моделей.

Наиболее просто поведение таких систем можно представить себе, рассматривая рассеяние электромагнитных волн облаком рассеивающих частиц, как показано на рис. 8.6.1. Принятый сигнал (отделенный от всякого аддитивного шума) может рассматриваться как взвешенная сумма задержанных во времени переданных сигналов, где каждый задержанный сигнал соответствует рассеиванию от одного из слоев, показанных на рис. 8.6. 1. В пределах любого слоя рассеивающие частицы будут типично для этого слоя двигаться и вращаться так, что каждая рассеивающая частица будет вносить некоторый допплеровский сдвиг в принятый сигнал. Следовательно, если косинусоида была передана, то сигнал, приходящий от какого-либо слоя, будет размазан по частоте около

Рис. 8 6.1. Диспергирующий канал с замираниями.

Функция рассеивания для такого канала определяется (с точностью до нормирующего множителя) как средняя по времени мощность, принятая в частотном интервале, расположенном около частоты и относящаяся к слою, вносящему задержку Функция рассеивания обычно нормируется так, чтобы Здесь молчаливо принимается, что не зависит от обычно это предположение достаточно хорошо соблюдается для широкого диапазона

Если имеется большое число рассеивающих слоев, двигающихся более или менее случайно относительно друг друга, и если можно пренебречь многократным рассеиванием от одной частицы к другой, то можно рассматривать принятую функцию, порожденную фиксированным входом, как сумму весьма большого числа более или менее независимых функций, дающих малые приращения. Разумно поэтому предположить, что для каждого фиксированного входа выход является гауссовским случайным процессом. Если при этом предположении передано то принятая функция (в отсутствии аддитивного шума) может быть представлена в виде

где и гауссовские случайные процессы. Если предположить далее, что среда статистически стационарна и что фаза сигнала, приходящего от каждой отражающей частицы, равномерно

распределена между то можно показать, что имеют одну и ту же спектральную плотность. Кроме того, если функция рассеивания удовлетворяет условию то статистически независимы. Наконец (предполагая, что/с много больше, чем любой допплеровский сдвиг), приемник может наблюдать раздельно.

Пусть спектральная плотность нормирована, Можно заметить, что средняя мощность принятой функции и что где функция рассеивания, определенная ранее. Средняя мощность зависит от канала и, конечно, она также прямо пропорциональна мощности передатчика

Исследуем теперь вероятность ошибки, которую можно достичь при кодировании в указанном выше канале. Для того чтобы сделать анализ по возможности более простым, рассмотрим случай, когда кодовые слова представляют собой множество разделенных по частоте синусоид на фиксированном интервале времени т. е.

Предположим, что А выбрано достаточно большим, так что для Будем считать, что в приемнике имеется набор параллельно соединенных фильтров с единичным усилением и полосой частот каждого фильтра фильтр настроен на частоту Если теперь рассмотреть принятую функцию как сумму сигнала и белого гауссова шума со спектральной плотностью то выход каждого фильтра на посланное сообщение можно представить в виде

В этих выражениях — независимые стационарные гауссовские процессы с нулевыми средними, имеющие спектральную плотность при и 0 при Так как нас интересует главным образом нахождение верхней границы вероятности ошибки для системы и так как шум при всегда несуществен, то модель можно упростить, предположив, что все указанные выше шумы являются белыми со спектральной плотностью

Процессы из (8.6.3) не стационарны, так как вход ограничен во времени интервалом Вместе с тем, если ввести параметр как разброс в задержке, вызванной как средой, так и фильтром приемника, и если подходящим образом сдвинуть начало отсчета времени приемника, то можно утверждать, что выход на интервале не будет зависеть от того, является ли вход усеченным вне интервала или нет. Другими словами, на интервале можно

рассматривать как выборочные функции независимых стационарных случайных гауссовских процессов со спектральными плотностями

До сих пор наши рассуждения были эвристическими и приближенными, что было естественно, так как мы имели дело с классом недостаточно точно определенных физических каналов. Теперь, однако, имеется математическая модель, с которой можно работать, и начиная с этого места рассуждения будут точными. Вновь дадим краткое описание модели; имеем множество кодовых слов длины задаваемых (8.6.2). Приемник наблюдает функции где если передано сообщение то

а для всех

Будем считать, что все функции при наблюдаются только в интервале В этом интервале все функции для являются выборочными функциями независимых стационарных гауссовских процессов с нулевыми средними; имеют спектральную плотность (при всех имеют спектральную плотность Наконец, примем, что модель справедлива для всех значений

Пусть автокорреляционная функция неусеченных процессов и пусть собственные функции и собственные значения на интервале где

Определим случайные величины равенствами

При принятых предположениях может быть вычислено в приемнике для всех Оно представляет собой выборочное значение гауссовской случайной величины с нулевым средним и дисперсией, задаваемой равенством

где переданное сообщение.

Пусть последовательность выходных случайных величин Сначала будем считать, что произвольно, но фиксированно, а затем рассмотрим предел при При совместная плотность вероятности задается равенством

Если где переданное сообщение, то совместная плотность вероятности задается равенством

Следовательно, при условии, что сообщение передано, совместная плотность вероятности всего множества принятых случайных величин где задается равенствами

Декодер по максимуму правдоподобия, принимающий решение по этому множеству случайных величин (с индексами будет декодировать такое котороемаксимизирует или, что эквивалентно, такое которое максимизирует Верхнюю границу вероятности ошибки для этого декодера по максимуму правдоподобия можно получить с помощью той же последовательности рассуждений, как в доказательстве теоремы 5.6.1. В частности,

где (ошибка вероятность ошибки при условии, что передано сообщение и принята некоторая последовательность Для заданного пусть событие, состоящее в том, что

Ошибка происходит тогда и только тогда, когда событие произойдет при некотором следовательно,

где было использовано (5.6.2) и все вероятности в правой части являются условными при заданных Строя границы тем же методом, как и при выводе (5.6.8), получаем

Подставляя (8.6.19) в (8.6.18) и (8.6.18) в (8.6.16) и замечая, что здесь является переменной интегрирования, получаем

Подставляя (8.6.12) и (8.6.13) в (8.6.20), заметим, что интеграл по распадается на произведение интегралов по компонентам Они представляют собой интегралы от гауссовских функций, зависящих от но не от Имеем

Так как этот результат справедлив для всех то можно перейти к пределу при и получить результат в виде

где

Как обычно в задачах, связанных с собственными значениями, результаты можно упростить, полагая интервал времени большим. Для того чтобы указать на зависимость собственных значений от интервала приема будем теперь писать вместо Взяв производную от по можно заметить, что каждое слагаемое возрастает по с ограниченным наклоном. Поэтому, если ограничена и интегрируема, то можно применить лемму 8.5.3 и получить

Так как фиксировано, то стремится к 1 при и поэтому

Отсюда следует, что для любого и любого можно выбрать Т достаточно большим, так что для любого и всех

Прежде чем интерпретировать этот результат, полезно ввести еще одну степень свободы в эту ситуацию. Величина задает полную мощность сигнала, имеющуюся на приемнике, и так как пропорциональна мощности передатчика, то ее можно понимать как мощность передатчика, нормированную к приемнику. Если передатчик не имеет ограничений на пиковую мощность, но имеет ограничение на среднюю мощность (при нормировке на приемнике), то одна из возможностей, существующая для передатчика, состоит в использовании на передачу кодовых слов доли времени 0 с мощностью передачи в течение этого времени. Назовем 0 коэффициентом занятости передачи. Можно также сделать 0 большим, чем 1, перекрывая время передачи последовательных кодовых слов путем использования разных полос частот для последовательных слов. Пусть время (в секундах) между началами последовательных кодовых слов. Тогда можно получить произвольную скорость передачи R в натуральных единицах в секунду, используя кодовых слов, где

Оценивая сверху (8.6.26) с помощью неравенствам — считая, что средняя принимаемая мощность в течение передачи, и подставляя вместо находим, что для любого существует такое достаточно большое что

где

В этом случае, требуемая величина V при заданном зависит от 0 и становится неограниченной при

Свойства показателя экспоненты в (8.6.28) при фиксировнных аналогичны свойствам показателя экспоненты — при фиксированном которые были рассмотрены в § 5.6. В частности, и

Определяя как

можно получить обычные параметрические уравнения, связывающие

Эти уравнения справедливы при для меньших, чем значение, определяемое (8.6.33) при имеем

Пропускная способность при заданных коэффициенте занятости и мощности определена как задаваемая (8.6.33) при

Используя те же рассуждения, как и в § 5.6 [или непосредственно рассматривая (8.6.34) и нетрудно заметить, что при всех

Наконец, определим пропускную способность канала при заданной мощности как верхнюю грань по Легко видеть, что эта верхняя грань задается формулой

где нормирована равенством

Этот результат является интересным и неожиданным, так как он утверждает, что пропускная способность такого канала совпадает с пропускной способностью неограниченного по полосе частот гауссовского канала, в котором имеется ограничение на мощность и в

котором действует аддитивный шум со спектральной плотностью Для любой значение 6 можно выбрать столь малым, что Для этого коэффициента занятости вероятность ошибки убывает экспоненциально с

Для того чтобы установить обратный результат, т. е. то, что надежная передача невозможна, если представим канал как последовательное соединение двух каналов, первый из которых будет диспергирующим каналом с замираниями, а второй будет каналом с аддитивным белым шумом". Так как средняя мощность на входе второго канала с аддитивным шумом ограничена то средняя взаимная информация в секунду, передаваемая по нему, не превышает Из (2.3.19, б) следует, что средняя взаимная информация в секунду, передаваемая по всему каналу, не превышает Следовательно, теорема 8.5.2 применима также к этому каналу. Отсюда можно увидеть, что рассуждения, приведенные выше, не зависят от особенностей анализируемой модели канала, и для них существенны только мощность белого шума, ограничение на мощность принимаемого сигнала и независимость белого шума от остальной части канала и сигнала.

Эти результаты можно представить в виде следующей теоремы.

Теорема 8.6.1. Для модели канала, определенной в тексте, примыкающем к равенствам (8.6.5) и (8.6.6), при дополнительном условии, что ограничена и интегрируема, пропускная способность канала при ограничении на мощность задается формулой При любой можно получить сколь угодно малую вероятность ошибки, взяв время передачи Т достаточно большим и коэффициент занятости достаточно малым. При применима теорема 8.5.2. Для любого заданного коэффициента занятости 0, для любого для всех достаточно больших и для любой код с кодовыми словами имеет вероятность ошибки, удовлетворяющую при всех неравенству

где задается соотношениями (8.6.33) и (8.6.35).

Сформулированные результаты не означают, что код, образованный разнесенными по частоте синусоидами, в каком-либо смысле минимизирует вероятность ошибки, которая может быть достигнута в рассматриваемом канале. Однако если не ограничиться синусоидами, то можно получить способ воздействия на выбор собственных чисел в (8.6.23). В случае, когда допустимо полное управление выбором при условии, что Кеннеди (1964) показал, что имеется оптимальное значение скажем зависящее только от и что максимизируется на таких среди которых равны и остальные равны нулю.