Идеальные фильтры нижних частот

Важным частным случаем фильтра теоремы 8.4.1 является идеальный фильтр нижних частот, отсекающий частоты выше некоторой заданной частоты Такой фильтр описывается частотной характеристикой

Импульсный отклик является обратным преобразованием Фурье

Рассмотрим теперь вход лишь на некотором интервале и определим

Множество входных собственных функций для фильтра задаются (8.4.10) как решения интегрального уравнения

где

Взяв преобразование Фурье от обеих частей (8.4.61), найдем, что преобразованием Фурье от является функция которая численно равна Следовательно,

Входные собственные функции [которые ограничены интервалом связаны с выходными собственными функциями соотношениями

Из (8.4.63) видно, что равна умноженной на функции усеченной к полосе частот Другими словами,

преобразования Фурье связаны соотношением

Кроме того, так как функция имеет ограниченную полосу частот, то она проходит без изменений через фильтр т. е. равно Так как четная функция, то вместе с (8.4.64) это дает

Следовательно, функции бимеют специфическое свойство: они ортонормальны на бесконечном интервале, а также ортогональны на интервале Функции известны как волновые функции вытянутого сфероида и они часто встречаются в разных задачах физики и математики. Имеется большая литература по этим функциям, и читатель, в частности, может обратиться к работам Слепяна, Поллака и Ландау (1961), (1962) и (1964). Некоторые весьма полезные свойства этих функций соетоят в том, что все их собственные значения различны и каждое соответствует единственной нормированной собственной функции (с точностью до знака). Функция имеет точно нулей внутри интервала и является четной функцией для нечетного и наоборот.

Как следует из обсуждения теоремы является нормированной функцией на интервале содержащей наибольшую энергию в полосе — Аналогично нормированная функция на которая имеет наибольшую энергию в интервале при условии ортогональности к Из тех же соображений следует, что является нормированной функцией с ограниченной полосой частот которая имеет наибольшую энергию на временном интервале при условии ортогональности к

Теперь можно возвратиться к тому, чтобы дать более точное толкование утверждения, что класс сигналов, который приближенно ограничен во времени и по частоте, имеет около степеней свободы. Рассмотрим множество функций, которые являются линейными комбинациями первых собственных функций Пусть

— произвольная функция этого класса и пусть

— часть лежащая в полосе частот Доля энергии которая содержится в полосе задается соотношением

Последнее приведенное выше неравенство следует из того, что все в сумме, стоящей в числителе, ограничены снизу Таким образом, рассматривается класс ограниченных по времени функций, имеющих степеней свободы, а у всех функций доля энергии, содержащаяся в полосе частот заключена между и 1. Заметим, кроме того, что одна из функций имеет в полосе — энергию, в точности равную

Прежде чем перейти к изучению поведения в зависимости от установим, что любое другое множество функций на интервале имеющих степеней свободы, также содержит функцию с или меньшей долей ее энергии в полосе — Под множеством функций с степенями свободы понимается множество линейных комбинаций линейно независимых функций. Могут быть два случая: или эти функции образуютто же пространство, что и или имеется линейная комбинация этих функций, ортогональная к В первом случае содержится в этом множестве и имеет в полосе энергию, равную Во втором функция, ортогональная к является линейной комбинацией Следовательно, так как при ограничены сверху то доля энергии этой функции в полосе не больше, чем

Последний вопрос, на который теперь следует ответить, состоит в том, как зависит от Изменяя масштаб времени в (8.4.10) и (8.4.62), видим, что зависит только от и от произведения и мы будем писать для того, чтобы подчеркнуть эту зависимость. Слепян (1965) показал, что если для каждых и ввести число а, определяемое равенством

то

где в (8.4.69) для каждого таковы, что а лежит в ограниченной области, не зависящей от

Графическое пояснение этой зависимости приведено на рис. 8.4.2. Основное, что здесь следует отметить, это то, что для имеем и для имеем Переходная область между этими экстремальными значениями имеет ширину,

пропорциональную В частности, для любого фиксированного эти равенства означают, что

Следовательно, если используется множество функций на степенями свободы, то для произвольно больших некоторые из этих функций будут иметь в полосе исчезающе малую долю энергии Обратно, при степенях свободы минимум доли энергии в полосе взятый по всем функциям в классе, будет сходиться к 1 при неограниченном возрастании

Рис. 8.4.2. Поведение собственных значений (8 4 60) при больших

Последняя особенность функции вытянутого сфероида, которая сейчас будет показана, состоит в том, что с точностью до масштаба являются преобразованиями Фурье друг друга. Используя из (8.4.57), для того чтобы получить ограничение по времени, можно переписать (8.4.66) следующим образом:

Взяв преобразование Фурье от обеих частей (8.4.72), получим

Подставляя (8.4.65) в (8.4.73) и используя то, что для это равенство приводим к виду

Наконец, изменяя масштаб раз, видим, что

удовлетворяет тому же самому интегральному уравнению (8.4.10), что и Так как его решения единственны с точностью до множителя, то, используя нормировку и то, что нумерация функций несущественна, получаем

Из (8.4.75) видно, что не стремится ни к синусоидам, ни к отсчетным функциям на интервале когда Т становится большим. Это, в свою очередь, объясняет, почему эвристические соображения, приведенные в § 8.3, не могут быть без большого труда сделаны точными.