Вероятность ошибки для двух кодовых слов

Для непрерывных по времени каналов кодовые слова в коде будут функциями времени (или в более общем случае векторными функциями времени). При заданном множестве ортонормальных функций эти кодовые слова могут быть представлены как векторы. Таким образом, кодовое слово может быть представлено в виде

Если кодовые слова имеют не более чем N степеней свободы, то эти кодовые слова можно рассматривать как блоки длины и поэтому здесь могут быть непосредственно применены результаты гл. 7. Однако будет более поучительно начать здесь сначала и вывести вновь те результаты, которые относятся к частному случаю, когда допустимое число степеней свободы неограниченно. Начнем со случая двух кодовых слов и предположим, что линейные комбинации первых N функций из множества ортонормальных функций

Белый гауссов шум со спектральной плотностью складывается с передаваемым сигналом и принятая функция имеет компоненты

где независимые гауссовские случайные величины со средними, равными нулю и дисперсиями Пусть масштаб измерения амплитуды для выбран так, что Тогда, если положить

то совместную условную плотность вероятности у при условии, что задано или можно записать ввиде

Определим логарифм отношения правдоподобия

Здесь логарифм отношения правдоподобия играет во многом ту же самую роль, как в гл. 5. При декодировании по максимуму правдоподобия сообщение 1 декодируется, когда а сообщение 2 — в противном случае. При декодировании по минимуму вероятности ошибки с априорными вероятностями сообщение 1 декодируется, когда Заметим, что при величины опускаются из рассмотрения, так как эти величины не зависят от посланного сообщения и не влияют на значение логарифма отношения правдоподобия. Даже если N бесконечно в (8.2.12), вполне определено, хотя предел условных плотностей вероятностей в (8.2.14) не существует.

Логарифм отношения правдоподобия может быть вычислен довольно легко по принятой функции, если заметить, что (8.2.17) может быть переписано на основе равенства Парсеваля следующим образом:

Следовательно, единственные операции, которые следует произвести над состоят в умножении на и интегрировании; такая процедура называется корреляционным декодированием. Другой способ приема, эквивалентный указанному, состоит в построении фильтров с импульсными откликами Эти фильтры называются согласованными фильтрами и когда проходит через них, то выход в момент совпадает с приведенным выше; такое декодирование называется декодированием с согласованными фильтрами.

Из (8.2.17) видно, что линейно связана с у и равна постоянной, сложенной проекцией у на

Рис. 8.2.3. Геометрическая интерпретация двух кодовых слов в канале с белым гауссовым шумом.

Следовательно, постоянно на любой гиперплоскости, перпендикулярной к прямой, соединяющей для что можно легко проверить с помощью (8.2.16) (см. рис. 8.2.3).

Теперь может быть вычислена вероятность ошибки при использовании декодирования по максимуму правдоподобия. Если послано сообщение 1, то, используя выражение вместо получаем

Следовательно, - гауссовская случайная величина со средним дисперсией Вероятность ошибки совпадает с вероятностью того, что (или вероятностью того, что значение этой величины более чем на стандартных отклонений меньше среднего значения)

где функция распределения нормированной гауссовской случайной величины

Так как в случае, когда послано сообщение 2, вероятность ошибки, очевидно, является той же самой, то общая вероятность ошибки задается равенством

где было использовано соотношение (8.1.16) для энергии. Следует подчеркнуть, что зависит только от энергии разности а не от особенностей выбираемых функций.

Далее рассмотрим важный случай, когда оба кодовых слова имеют одинаковую энергию

Здесь используется масштаб для амплитуды, при котором однако в (8.2.23) можно истолковать как энергию кодового слова при некотором произвольном масштабе для амплитуды и как значение спектральной плотности в том же самом масштабе. Полагая, что

— нормированная корреляция между кодовыми словами, перепишем равенство (8.2.22) следующим образом:

Вероятность ошибки минимизируется по X при выборе этом случае Любое убывание вероятности ошибки ниже этого минимального значения требует увеличения которое при фиксированной мощности сигнала требует увеличения времени передачи одного бита. Другая альтернатива, которая будет теперь исследована, состоит в увеличении числа кодовых слов Это позволяет увеличить длину кодовых слов (а следовательно, и без уменьшения скорости передачи

Когда велико, возникает проблема выбора кодовых слов. Из анализа случая двух кодовых слов ясно, что энергия разности должна быть большой для всех Можно получить некоторое представление относительно возможных значений энергии этих разностей, оценивая среднюю по энергию разности при условии, что

Тогда средняя энергия разности удовлетворяет соотношениям

Соотношение (8.2.27) следует из (8.2.26), если пренебречь вторым членом в (8.2.26), который всегда отрицателен, и использовать ограничение на энергию Когда эта граница равна и равна энергии разности для При граница сходится к значению которое, как можно легко увидеть, является энергией разности для ортогональных кодовых слов энергии Поэтому из (8.2.27) следует, что для больших существует большое число пар кодовых слов, для которых энергия разности немного больше, чем для ортогональных кодовых слов.

В оставшейся части этого параграфа будут найдены верхние и нижние границы вероятности ошибки для множества ортогональных кодовых слов равной энергии. Однако прежде всего свяжем ортогональные коды с другим хорошо известным классом кодов — симплексными кодами. Пусть множество ортогональных функций равной энергии; определим кодовые слова ассоциированного симплексного кода с помощью равенств

Геометрически могут быть истолкованы как вершины (-мерного равностороннего симплекса с центром в начале координат. Так как кодовые слова симплексного кода получаются в результате простого смещения связанного с ним ортогонального кода, то видно, что эти коды имеют одинаковую вероятность ошибочного декодирования. Однако энергия симплексных кодовых слов меньше, чем энергия ортогональных слов, в раз. Интуитивно правдоподобно, что при заданных симплексный код дает минимум возможной вероятности ошибки в канале с белым гауссовым шумом. Однако строгое доказательство этого еще не найдено.