Главная > Теория информации и надежная связь
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Вероятность ошибки для двух кодовых слов

Для непрерывных по времени каналов кодовые слова в коде будут функциями времени (или в более общем случае векторными функциями времени). При заданном множестве ортонормальных функций эти кодовые слова могут быть представлены как векторы. Таким образом, кодовое слово может быть представлено в виде

Если кодовые слова имеют не более чем N степеней свободы, то эти кодовые слова можно рассматривать как блоки длины и поэтому здесь могут быть непосредственно применены результаты гл. 7. Однако будет более поучительно начать здесь сначала и вывести вновь те результаты, которые относятся к частному случаю, когда допустимое число степеней свободы неограниченно. Начнем со случая двух кодовых слов и предположим, что линейные комбинации первых N функций из множества ортонормальных функций

Белый гауссов шум со спектральной плотностью складывается с передаваемым сигналом и принятая функция имеет компоненты

где независимые гауссовские случайные величины со средними, равными нулю и дисперсиями Пусть масштаб измерения амплитуды для выбран так, что Тогда, если положить

то совместную условную плотность вероятности у при условии, что задано или можно записать ввиде

Определим логарифм отношения правдоподобия

Здесь логарифм отношения правдоподобия играет во многом ту же самую роль, как в гл. 5. При декодировании по максимуму правдоподобия сообщение 1 декодируется, когда а сообщение 2 — в противном случае. При декодировании по минимуму вероятности ошибки с априорными вероятностями сообщение 1 декодируется, когда Заметим, что при величины опускаются из рассмотрения, так как эти величины не зависят от посланного сообщения и не влияют на значение логарифма отношения правдоподобия. Даже если N бесконечно в (8.2.12), вполне определено, хотя предел условных плотностей вероятностей в (8.2.14) не существует.

Логарифм отношения правдоподобия может быть вычислен довольно легко по принятой функции, если заметить, что (8.2.17) может быть переписано на основе равенства Парсеваля следующим образом:

Следовательно, единственные операции, которые следует произвести над состоят в умножении на и интегрировании; такая процедура называется корреляционным декодированием. Другой способ приема, эквивалентный указанному, состоит в построении фильтров с импульсными откликами Эти фильтры называются согласованными фильтрами и когда проходит через них, то выход в момент совпадает с приведенным выше; такое декодирование называется декодированием с согласованными фильтрами.

Из (8.2.17) видно, что линейно связана с у и равна постоянной, сложенной проекцией у на

Рис. 8.2.3. Геометрическая интерпретация двух кодовых слов в канале с белым гауссовым шумом.

Следовательно, постоянно на любой гиперплоскости, перпендикулярной к прямой, соединяющей для что можно легко проверить с помощью (8.2.16) (см. рис. 8.2.3).

Теперь может быть вычислена вероятность ошибки при использовании декодирования по максимуму правдоподобия. Если послано сообщение 1, то, используя выражение вместо получаем

Следовательно, - гауссовская случайная величина со средним дисперсией Вероятность ошибки совпадает с вероятностью того, что (или вероятностью того, что значение этой величины более чем на стандартных отклонений меньше среднего значения)

где функция распределения нормированной гауссовской случайной величины

Так как в случае, когда послано сообщение 2, вероятность ошибки, очевидно, является той же самой, то общая вероятность ошибки задается равенством

где было использовано соотношение (8.1.16) для энергии. Следует подчеркнуть, что зависит только от энергии разности а не от особенностей выбираемых функций.

Далее рассмотрим важный случай, когда оба кодовых слова имеют одинаковую энергию

Здесь используется масштаб для амплитуды, при котором однако в (8.2.23) можно истолковать как энергию кодового слова при некотором произвольном масштабе для амплитуды и как значение спектральной плотности в том же самом масштабе. Полагая, что

— нормированная корреляция между кодовыми словами, перепишем равенство (8.2.22) следующим образом:

Вероятность ошибки минимизируется по X при выборе этом случае Любое убывание вероятности ошибки ниже этого минимального значения требует увеличения которое при фиксированной мощности сигнала требует увеличения времени передачи одного бита. Другая альтернатива, которая будет теперь исследована, состоит в увеличении числа кодовых слов Это позволяет увеличить длину кодовых слов (а следовательно, и без уменьшения скорости передачи

Когда велико, возникает проблема выбора кодовых слов. Из анализа случая двух кодовых слов ясно, что энергия разности должна быть большой для всех Можно получить некоторое представление относительно возможных значений энергии этих разностей, оценивая среднюю по энергию разности при условии, что

Тогда средняя энергия разности удовлетворяет соотношениям

Соотношение (8.2.27) следует из (8.2.26), если пренебречь вторым членом в (8.2.26), который всегда отрицателен, и использовать ограничение на энергию Когда эта граница равна и равна энергии разности для При граница сходится к значению которое, как можно легко увидеть, является энергией разности для ортогональных кодовых слов энергии Поэтому из (8.2.27) следует, что для больших существует большое число пар кодовых слов, для которых энергия разности немного больше, чем для ортогональных кодовых слов.

В оставшейся части этого параграфа будут найдены верхние и нижние границы вероятности ошибки для множества ортогональных кодовых слов равной энергии. Однако прежде всего свяжем ортогональные коды с другим хорошо известным классом кодов — симплексными кодами. Пусть множество ортогональных функций равной энергии; определим кодовые слова ассоциированного симплексного кода с помощью равенств

Геометрически могут быть истолкованы как вершины (-мерного равностороннего симплекса с центром в начале координат. Так как кодовые слова симплексного кода получаются в результате простого смещения связанного с ним ортогонального кода, то видно, что эти коды имеют одинаковую вероятность ошибочного декодирования. Однако энергия симплексных кодовых слов меньше, чем энергия ортогональных слов, в раз. Интуитивно правдоподобно, что при заданных симплексный код дает минимум возможной вероятности ошибки в канале с белым гауссовым шумом. Однако строгое доказательство этого еще не найдено.

1
Оглавление
email@scask.ru