8.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ И НЕБЕЛЫЙ ШУМ

Приступая к изложению точной трактовки сигналов, ограниченных как по мощности, так и по частоте, начнем с анализа ситуации, изображенной на рис. 8.4.1.

На рис. 8.4.1 сигнал на входе канала имеет произвольную продолжительность ограничен по мощности значением 5 и пропущен через линейный инвариантный во времени фильтр с импульсным откликом Выход фильтра задается равенством

Принимаемый сигнал равен сумме и белого гауссова шума. Рассмотрим два случая, когда выход канала является неограниченным по продолжительности сигналом и когда рассматриваемый выход представляет собой часть сигнала заданную на конечном временном интервале. Как указано выше, фильтр можно рассматривать как часть канала или как некоторое ограничение, вводимое для регулирования спектральной плотности

Первая проблема при анализе ситуации, изображенной на рис. 8.4.1, заключается в нахождении подходящего представления для Естественно, было бы удобным представить каждую из этих функций ортонормальным разложением и вопрос состоит в том, какое ортонормальное разложение следует выбрать. Было бы особенно хорошо, если бы можно было найти два множества ортонормальных функций, скажем таких, что множество могло быть использовано для представления входа фильтра; множество могло быть использовано для представления выхода фильтра и для каждого нормированный отклик на был равен Цель этого параграфа — показать, что такие множества функций существуют и что они обладают рядом других свойств, которые делают их весьма естественными множествами функций для представления фильтра, его входа и выхода. Имеется одна неприятная особенность у этих функций, которая часто на первых порах раздражает. В лучшем случае, нахождение их не упорядочено, в худшем — фактически невозможно. Здесь нас это не будет касаться, так как в последующем изложении никогда не придется фактически вычислять эти функции. Они будут использованы исключительно как умозрительный инструмент со знанием того, что они могут быть вычислены, но что выигрыш от более глубокого проникновения не оправдал бы усилий по их отысканию.

Рис. 8.4.1. Простой канал, ограниченный по мощности и полосе частот.

Что важно для дальнейших обобщений, построение этих множеств функций не зависит оттого, инвариантен ли фильтр во времени, а поэтому построение будет проводиться для произвольных линейных, изменяющихся во времени фильтров. Пусть выход в момент времени на -импульс на входе в момент времени т. е. для заданного входа выход задается равенством

Примем в дальнейшем изложении, что вход фильтра равен нулю вне интервала и что нас интересует представление выхода только на некотором интервале Для того чтобы заложить это в нашу модель и избежать постоянного беспокойства относительно пределов интегрирования, положим равным нулю вне интересующей нас области, т. е.

Следовательно, если линейный инвариантный во времени фильтр имеет импульсный отклик то фильтр будет представляться с помощью

Если на функцию наложено ограничение, что она может быть отлична от нуля только на интервале ), то выход задаваемый (8.4.1), является выходом линейного инвариантного во времени фильтра на интервале Вместе с тем функция определяемая (8.4.1), равна нулю вне этого интервала, в то время как выход действительного фильтра может быть там отличен от нуля.

Продолжительность сигнала на входе Тили на выходе или и того и другого может быть бесконечной, однако всегда будет предполагаться, что

Позволяя избежать паталогических ситуаций, условие (8.4.4) в то же время исключает две весьма общие в инженерной практике ситуации. Первая включает случай, когда содержит -импульсы, другая включает случай, когда бесконечны и фильтр инвариантен во времени. Таким образом, в нашем подходе оба этих случая должны рассматриваться как предельные и не всегда имеется гарантия, что эти пределы существуют.

Найдем теперь функции которые связаны равенством

Требование, чтобы были бы ортонормальны, приводит к соотношениям

где

Задача нахождения множества ортонормальных функций, удовлетворяющих (8.4.7), очень часто встречается в математике и физике. Как

будет видно из дальнейшего, она равносильна нахождению множества чисел и множества функций которые удовлетворяют интегральному уравнению

В следующей теореме суммируются свойства, которыми обладают Эти свойства делают более легким обращение с сигналами на входе и выходе фильтра однако, как отмечено выше, они не дают указаний, как в действительности найти решение (8.4.9); к счастью, нет нужды в явных решениях для получения большинства последующих результатов.

Теорема 8.4.1. Пусть отлична от нуля и интегрируема в квадрате [т. е. удовлетворяет (8.4.4)]. Тогда существуют последовательность (конечная или бесконечная) невозрастающих положительных чисел и взаимно однозначно соответствующие этим числам два множества ортонормальных функций которые обладают следующими свойствами.

а) удовлетворяют интегральному уравнению

где задается (8.4.8).

б) связаны соотношениями

в) удовлетворяют интегральному уравнению

где

г) Пусть произвольная функция из и пусть Тогда следующие три утверждения вытекают одно из другого:

К тому же, если разлагается в ряд

то

д) Пусть произвольная функция из Тогда следующие утверждения вытекают одно из другого:

Если разлагается в ряд

то

ж) являются решениями следующих задач по отысканию максимума

Эти максимизации производятся при ограничениях для где определяется как В каждом случае в качестве можно взять функцию которая максимизирует приведенные выше выражения.

Доказательство. Пусть - два нормированных решения интегрального уравнения (8.4.10). Пусть задаются равенством Тогда так же, как и в (8.4.7), выводим

При выводе (8.4.30) в интегрировании по использовалось равенство (8.4.10). В (8.4.31) был использован тот факт, что

и интегрирование сначала было произведено по Из (8.4.30) и (8.4.31) видно, что если то должны быть ортогональны, и отсюда следует, что и 6; ортогональны. Если то из (8.4.30) и нормированности следует также нормированность кроме того, так как в этом случае оба интеграла в (8.4.30) положительны, то Наконец, если линейно независимы, то любая линейная комбинация также удовлетворяет (8.4.10). В последующем изложении, если более чем одна линейно независимая функция удовлетворяет (8.4.10) для одного и того же значения Я, то в множество будем включать только ортонормальный базис множества решений (8.4.10) с этим значением Я и повторять это значение Я соответствующее число раз в последовательности Было показано, что при таком условии ненулевые Я, удовлетворяющие (8.4.10), положительны, что соответствующие ортонормальны и что задаваемые (8.4.11), ортонормальны. В дальнейшем будет показано, что ненулевые удовлетворяющие (8.4.10), могут быть упорядочены в убывающую последовательность, а сейчас будем считать, что они расставлены произвольным образом.

Далее убедимся в справедливости (8.4.12), умножая обе части (8.4.11) на и интегрируя по Получим

тфттафт!).

Это соотношение равносильно (8.4.12). Равенство (8.4.13) получается таким же образом; в этом случае умножаем обе части (8.4.12) на интегрируем по и используем (8.4.11).

До этого места были указаны некоторые свойства, которыми должны обладать решения интегрального уравнения (8.4.10), но еще не было показано, что (8.4.10) вообще имеет какое-либо решение.

С одной стороны, доказательство существования решения (8.4.10) весьма громоздко и, с другой стороны, это существование является центральным фактом теории линейных интегральных уравнений и функционального анализа; поэтому мы просто сформулируем результат. Если ядро отлично от нуля и интегрируемо в квадрате и если то имеет по крайней мере одно ненулевое собственное значение и собственную функцию [т. е. решение в действительности имеется достаточное число собственных функций и собственных значений, так что если функция ортогональна всем то она должна удовлетворять равенству

Для того чтобы использовать здесь этот результат, надо показать, интегрируема в квадрате. Применяя неравенство Шварца к получаем

Следовательно, сформулированный выше результат может быть применен и это показывает, что первое утверждение (8.4.15) влечет за собой второе. Второе утверждение также влечет за собой третье, так как, умножая второе выражение (8.4.15) на и интегрируя, получаем

Применяя (8.4.8) к преобразуем это выражение к виду

Следовательно,

Ниже будет показано, что третье утверждение влечет за собой первое, и будет установлена справедливость (8.4.17). Используя разложение имеем

В силу (8.4.15) последнее слагаемое в (8.4.32) равно нулю, так как ортогонально по всем Из (8.1.15) следует, что можно изменить порядок суммирования и интегрирования в первом слагаемом правой части (8.4.32) и таким образом получить

Используя (8.4.11) при интегрировании в правой части, получаем (8.4.17). Равенство (8.4.18) получается точно таким образом, за исключением того, что (8.4.10) используется при интегрировании каждого слагаемого. Покажем теперь, что если и если равно 0, то ортогонально ко всем Из (8.4.17) и неравенства Бесселя выводим

Так как все положительны, то все должны равняться нулю и третье утверждение (8.4.15) влечет за собой первое.

Часть д) теоремы доказывается таким же образом, как и часть г), и она фактически двойственна утверждению части г). Перейдем к выводу части е) и разложения Так как функция двух

Пусть для любого заданного кода В — множество последовательностей источника, для которых Для любого некоторый код в ансамбле с заданным удовлетворяет неравенству Добавим к этому коду множество кодовых слов, одно кодовое слово для каждой последовательности из букв алфавита Отобразим последовательности источника, не содержащиеся в В, в первоначальные кодовых слов с искажением на букву, не большим Отобразим последовательности источника из В в ближайшее из добавочных кодовых слов. Энтропия всего множества кодовых слов ограничена так же, как в (9.3.28),

Если то общее число кодовых слов равно

Следовательно, для достаточно больших удовлетворяются ограничения на и

Пусть случайная величина,

и пусть являются одинаково распределенными случайными величинами

Искажение на букву для последовательности и В имеет вид Среднее искажение на букву для заданного кода, таким образом, ограничено выражением

где верхняя граница искажения, связанная с и а последнее выражение является искажением, связанным с и Пусть некоторое число, которое будет выбрано позднее, и пусть для каждого

Тогда

Первое из указанных выше слагаемых было ограничено сверху на основе того, что так как для то Второе слагаемое