ПРИЛОЖЕНИЕ 5Б

В этом приложении будут доказаны теоремы 5.6.3 и 5.7.2, описывающие поведение как функции Начнем с леммы.

Лемма. Пусть вектор вероятностей в пусть множество неотрицательных чисел. Тогда функция

является невозрастающей и выпуклой по при Более того, является строго убывающей, если не все для которых равны друг другу. Выпуклость является строгой, если не все ненулевые для которых равны друг другу.

Доказательство. То, что является невозрастающей, и условия, при которых она является строго убывающей, следуют непосредственно из известного неравенства (см. задачу

при Чтобы доказать выпуклость, будем считать, что и 0 — произвольные числа, и определим

Для того чтобы показать, что является выпуклой нужно показать, что

Определим число X из соотношений:

Эти соотношения, как можно заметить (если их сложить и использовать являются совместными. Из также следует, что

где следует из неравенства Гельдера (см. задачу Возводя обе части в степень и используя получаем

Взяв логарифм от обеих частей получаем Выпуклость является строгой до тех пор, пока удовлетворяется со строгим неравенством; равенство в имеет место тогда и только тогда, когда существует постоянная С, такая, что при всех (см. задачу Отсюда немедленно следует условие строгой выпуклости, указанное в лемме. Доказательство теоремы 5.6.3. Имеем

Взяв в лемме вместо вместо видим, что

является невозрастающей функцией для каждого По предположению следовательно, не зависит от для тех для которых Таким образом, написанное выше выражение, является строго убывающим по крайней мере для одного является строго возрастающей функцией при Так как то это означает также, что при Покажем теперь, что является выпуклой по Пусть являются произвольными числами и пусть 0 удовлетворяет неравенствам Положим . Из леммы [см. неравенство имеем

Используем теперь неравенство Гельдера (см. задачу

для правой части и получим

Взяв логарифм от обеих частей будем иметь

Это означает, что является выпуклой по Выпуклость перестает быть строгой тогда и только тогда, когда как так и удовлетворяются с равенством. Согласно лемме удовлетворяется с равенством тогда и только тогда, когда не зависит от для всех удовлетворяющих

Условие равенства в задачу состоит в том, что существует постоянная С, такая, что для всех

Если удовлетворяется с оавснством, то ненулевые могут быть удалены из написанного выше равенства, что даст

при всех Это означает, что выражение в квадратных скобках является некоторой постоянной а, не зависящей от и поэтому для любых для которых будем иметь

Доказательство теоремы 5.7.2. Имеем

Можно применить лемму непосредственно к сопоставляя двойную сумму в однократной сумме в сопоставляя функции и сопоставляя

числам в Таким образом, является возрастающей и выпуклой о функцией Выпуклость является строгой, если не все ненулевые значения

для которых равны друг другу. Эта сумма равна 1 при и (как следует из задачи она равна 1 при тогда и только тогда, когда для всех Подобно этому указанная выше сумма равна 0 тогда и только тогда, когда для всехчто доказывает указанные в теореме условия строгой выпуклости.