8.2. БЕЛЫЙ ГАУССОВ ШУМ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИГНАЛЫ

Здесь ортонормальное разложение, рассмотренное в последнем параграфе, применяется к нахождению пропускной способности канала с аддитивным гауссовым шумом с мощностным ограничением на входе. Затем исследуется вероятность ошибки, достигаемая при ортогональных сигналах на входе такого канала.

Пусть полное множество действительных ортонормальных на интервале функций. Вход для может быть представлен в виде (8.1.49). Аналогично шум может быть представлен в виде

Для белого гауссова шума со спектральной плотностью компоненты шумагх, по определению, статистически независимые гауссовские случайные величины со средним 0 и дисперсией Предполагается также, что они статистически не зависят от Принятая функция равна сумме и допускает представление

Равенство (8.2.2), как показано на рис. 8.2.1, сводит канал непрерывного времени к бесконечному множеству параллельных дискретных по времени каналов с аддитивным гауссовым шумом.

Предположим, что мощность на входе канала ограничена величиной так что

(страница пропущена)

При этом ограничении для следовательно, Пропускная способность в секунду при этом ограничении задается формулой

Сформулируем этот результат как теорему, используя обозначение вместо

Рис. 8.2.1. Параллельные дискретные по времени каналы, соответствующие непрерывному по времени каналу.

Рис. 8.2.2. Пропускная способность канала с белым гауссовым шумом и с степенями свободы.

Теорема 8.2.1. Пусть выход непрерывного повремени канала представляется как сумма входа и белого гауссова шума со спектральной плотностью Пусть вход ограничен по мощности величиной и представляется на интервале времени длины Т как линейная комбинация ортонормальных функций. Тогда пропускная способность канала на единицу времени задается равенством

Равенство (8.2.9) — знаменитая формула Шеннона для пропускной способности канала с белым гауссовым шумом и сигналом на входе, ограниченным по полосе и мощности. Как было показано, для больших имеется около степеней свободы у множества входных сигналов, ограниченных во времени интервалом длины а по частоте, приближенно, полосой В § 8.5 эта связь между числом степеней свободы и шириной полосы частот станет яснее и результат (8.2.9) будет установлен для каналов с ограниченной полосой частот, а не для каналов с ограниченным числом степеней свободы.

На рис. 8.2.2 приведен график С как функции в соответствии с (8.2.9). Из него видно, что С быстро возрастает с ростом до тех пор, пока не становится приближенно равной Затем С возрастает более медленно, приближаясь к пределу при Это в сочетании с (8.2.7) приводит к следующему следствию из теоремы 8.2.1.

Следствие. Пропускная способность на единицу времени канала с белым гауссовым шумом, с входной мощностью, ограниченной 5, и с неограниченным числом степеней свободы задается формулой

Для того чтобы достичь пропускной способности при ограничении на число степеней свободы, следует энергию сигнала на одну степень задать равенством Следовательно, точка рис. 8.2.2 соответствует отношению энергий сигнала и шума, равному единице на одну степень свободы. При энергия сигнала на степень свободы меньше, чем энергия шума на степень свободы и при энергия сигнала на степень свободы стремится к нулю. Этот результат сначала кажется странным и противоречащим интуиции, так как, когда возрастает, мощность сигнала распространяется все более тонким слоем на все большее число степеней свободы и, следовательно, кажется утопающей в шуме. Однако, как будет показано далее, различимость любого заданного кодового слова в шуме никак не связана с числом ортонормальных функций, используемых для задания кодового слова. Только наличие большого числа степеней свободы позволяет произвести хорошее разделение различных кодовых слов.