ПРЕДИСЛОВИЕ

Одной из наиболее важных математических дисциплин является анализ. Основным объектом изучения в анализе является функция. По поводу этого понятия Н. Н. Лузин [1, т. 3, с. 319-341] писал: «Оно не сложилось сразу, но, возникнув более двухсот лет тому назад в знаменитом споре о звучащей струне, подвергалось глубоким изменениям в начавшейся тогда энергичной полемике. С тех пор идут непрестанное углубление и эволюция этого понятия, которые продолжаются до настоящего времени. Поэтому ни одно отдельное формальное определение не может охватить всего содержания этого понятия...».

В связи с этим естественно отнести зарождение действительного анализа ко времени спора о колеблющейся струне (Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Д'Аламбер, Ж. Лагранж), хотя становление этой теории происходило в XIX в. (Ж. Фурье, О. Коши, Н. И. Лобачевский, П. Дирихле, Б. Риман, П. Л. Чебышев, К. Жордан).

В классическом анализе изучались в основном функции, имеющие определенную степень гладкости. Однако во второй половине XIX в. в анализе четко обрисовались некоторые ждавшие своего решения проблемы, касающиеся более общих классов функций, а также и более глубокого изучения гладких функций. К таким проблемам относились: проблема меры множества, длин кривых и площадей поверхностей, приближения и представления функций, первообразной и интеграла, взаимосвязи интегрирования и дифференцирования, почленного интегрирования и дифференцирования рядов, свойств функций, полученных в результате предельного перехода. Классические методы анализа не могли дать удовлетворительного ответа на вопросы такого типа. В связи с этим и возникла в конце XIX в. настоятельная необходимость пересмотра основ математического анализа, что было осуществлено в конце XIX - начале XX вв. на базе теории множеств. Этим завершилось создание основ современного действительного анализа.

Из сказанного видно, что действительный анализ может быть, с известной мерой условности, разделен на классический математический анализ и его более современную часть, основы

которой были заложены Э. Борелем, Р. Бэром и прежде всего А. Лебегом. В 1902 г. А. Лебег ввел чрезвычайно важное понятие меры множества. На основе этого понятия им была создана теория интеграла. Эти два понятия — мера и интеграл — составляют фундамент современного действительного анализа.

К настоящему времени написано немало хороших книг, освещающих различные аспекты действительного анализа. Прежде всего, нужно упомянуть монографии П. Халмоша [2] и С. Сакса [3], учебники А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [4], И. П. Натансона [5], Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надя [6] и др.

Авторы настоящего пособия поставили своей целью создание учебника, максимально приближенного к университетскому курсу действительного анализа и опирающегося на многолетний опыт преподавания этой дисциплины на механико-математическом факультете Московского государственного университета. При этом были использованы наиболее удачные, по мнению авторов, подходы из упомянутых выше книг. Так, изложение теории меры в основном идет по схеме, предложенной А. Н. Колмогоровым и С. В. Фоминым [4], интеграл Лебега вводится по методике С. Сакса [3], при изложении теории функций ограниченной вариации и абсолютно непрерывных функций использованы некоторые рассуждения из книги И. П. Натансона [5]. Параграфы 31 и 32, связанные с теорией рядов Фурье, содержат доказательства, изложенные в известной монографии Н. К. Бари «Тригонометрические ряды» [7] и в одноименном двухтомнике А. Зигмунда [8].

В книге нашли свое отражение и методические разработки последних лет кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ. Это касается прежде всего изложения теории измеримых функций, а также теории неопределенного интеграла Лебега. Излагаемый материал полностью покрывает содержание лекционного курса действительного анализа, ныне читаемого на механико-математическом факультете МГУ в IV семестре, и отчасти — курса функционального анализа (V—VI семестры).

В качестве задачников по данным курсам авторы рекомендуют книги С. А. Теляковского [9], Ю. С. Очана [10] и А. А. Кириллова и А. Д. Гвишиани [11].

Авторы будут признательны за любые замечания по поводу содержания книги и способов изложения материала.

М. И. Дьяченко, П. Л. Ульянов