ГЛАВА 2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

§ 10. Определение и основные свойства

Определение 10.1. Тройка где -алгебра с единицей -аддитивная мера на назы вается измеримым пространством. Если то буди называть это пространство конечным, а если мера -конечна то -конечным.

Определение 10.2. Пусть измеримое про странство, множество а функция Тогда называется измеримой в том и только в та случае, когда для любого с полный прообраз

Замечание 10.1. Подчеркнем, что в определении учи тывается тот факт, что задана на измеримом множестве А Отметим также, что тройка также является изме римым пространством, а потому ниже всегда можно предпола гать, что определена на единице измеримого пространства.

В дальнейшем, если будет говориться, что функция из мерима на множестве то подразумевается, что имеется изме римое пространство (вообще говоря -конечное) и множество Далее, если множества и некоторое свойство выполняется в каждой точк множества В, то мы будем говорить, что это свойство выполш ется почти всюду на А.

Определение 10.3. Если две измеримы на X функции, причем почти всюду на X, то он; называются эквивалентными.

Замечание 10.2. Поскольку все открытые подмножест пространства измеримы относительно классической мер Лебега, любая функция, заданная на измеримом подмножест и непрерывная на нем, является измеримой относительн соответствующего измеримого пространства.

Лемма 10.1. Пусть функция измерима на ( Тогда измеримы множества где могут быть и бесконечными.

Доказательство. Прежде всего отметим, что

и

Теперь ясно, что и Далее, при любом с имеем

Отсюда

и лемма установлена.

Теорема 10.1. Если функция измерима на борелевское подмножество

Доказательство. Пусть Тогда и если то

т. е. Кроме того, если то

Отсюда ясно, что -алгебра. Кроме того, из последнего соотношения, леммы 10.1 и теоремы 9.2 вытекает, что содержит все открытые подмножества Тогда по определению борелевской -алгебры В как минимальной -алгебры, содержащей все открытые множества, и теорема доказана.

Замечание 10.3. Как будет показано ниже, даже для непрерывных функций, заданных на отрезке, вообще говоря, нельзя утверждать, что прообраз любого множества, измеримого относительно классической меры Лебега, также измерим относительно этой меры.

Теорема 10.2. Если функция измерима и конечна на и ниже конечной мы будем называть функцию, принимающую только конечные значения в каждой точке своей области определения), причем где открытое множество, а функция непрерывна на то суперпозиция измерима на

Доказательство. Прежде всего отметим, что функция принимает только конечные значения. Поэтому для любого имеем

Согласно свойствам непрерывной функции, множество открытое, а значит, тем более борелевское. Поэтому по теореме и наше утверждение доказано.

Здесь естественно возникает вопрос: верно ли, что и композиция двух измеримых функций является измеримой функцией? В следующем параграфе будет показано, что это, вообще говоря, неверно.

Теорема 10.3. Если функции измеримы и конечны на а некоторые числа, то функции также измеримы на этом пространстве. Кроме того, если не обращается ни в одной точке, то измеримой будет и функция Конечность функций здесь требуется лишь затем, чтобы не надо было специально определять результаты операций сложения, умножения и деления.

Доказательство. Поскольку линейная функция непрерывна на мы имеем, что если функция измерима и конечна, то по теореме 10.2 при любом измеримы функции

Пусть теперь функции измеримы и конечны. Рассмотрим множество

где это все рациональные числа, каким-либо образом занумерованные. Поэтому при любом с множество

и первая часть теоремы установлена.

Теперь отметим, что если функция измерима и конечна, то по теореме 10.2 измерима и функция Но тогда измеримо и произведение измеримых функций

Наконец, если функция измерима конечна и не обращается в нуль на X, то, так как функция - непрерывна на открытом множестве из теоремы 10.2 следует, что функция также измерима. С учетом уже установленной измеримости произведения, это завершает доказательство теоремы.

Замечание 10.4. По ходу доказательства теоремы 10.3 была установлена измеримость множества точек, в котовых одна измеримая функция больше другой (ясно, что предположение о конечности этих функций здесь несущественно).

Замечание 10.5. Представляется естественным считать, что

Кроме того, формально можно положить

При таких соглашениях в дальнейшем мы будем пользоваться теоремами об измеримости суммы и произведения измеримых функций без требования конечности этих функций. Заметим еще, что если мера полна, а функции конечны почти всюду, то можно считать, что на «плохом» множестве результат операций сложения и умножения определен произвольным образом.

Теорема 10.4. Если последовательность измеримых функций на пространстве то функции также измеримы на этом пространстве. Разумеется, измеримыми также будут нижняя грань и нижний предел последовательности измеримых функций.

Доказательство. Для любого имеем

и измеримость доказана. Отсюда при любом измерима функция Но тогда для любого с имеем

и теорема полностью доказана.

Следствие условиях теоремы 10.4 функция измерима на множестве на котором она существует (предел может быть и бесконечным).

Доказательство. Множество это множество, на котором совпадают верхний и нижний пределы последовательности функций. По теореме 10.4 эти пределы измеримы, следовательно, измеримо и Но на множестве функция совпадает с измеримой функцией и следствие установлено.

Замечание 10.6. Если мера полна, функции измеримы на множестве почти всюду на то и функция будет измерима на множестве

Теорема 10.5. Если функция непрерывна на интервале то ее конечная производная измерима на множестве своего существования относительно классической меры Лебега.

Доказательство. Рассмотрим так называемую верхнюю производную функции

Поскольку функция непрерывна, множество

измеримо даже по Борелю (внутреннее объединение является открытым множеством). Отсюда вытекает измеримость верхней производной. Аналогично устанавливается и измеримость нижней производной

Множество существования конечной обычной производной это множество точек, где верхняя и нижняя производные конечны и равны. Из доказанного выше видно, что измеримо, а поскольку на выполнено равенство теорема полностью установлена.

Справедливо и следующее более общее утверждение (приводимое ниже простое доказательство было любезно сообщено Куприковым).

Теорема 10.6. Если функция измерима на интервале то ее конечная производная измерима на множестве своего существования относительно классической меры Лебега.

Доказательство. Пусть произвольная функция измерима на Тогда, поскольку при любом натуральном и любом множество

открыто, функции измеримы для . В этом случае, измеримыми будут и функции

при Теперь, для заданной и для любого с положим По доказанному выше, множество

измеримо. Таким образом, установлена измеримость функций

при Отсюда, измеримой является и так называемая правая верхняя производная функции

Аналогичным образом устанавливается измеримость левой верхней производной

Но тогда измеримой является и верхняя производная функции

Таким же образом устанавливается измеримость нижней производной, после чего доказательство теоремы 10.6 заканчивается так же, как и доказательство теоремы 10.5.