§ 20. Заряды. Теорема Радона-Никодима

Определение 20.1. Пусть -алгебра с единицей -аддитивная действительнозначная функция на Тогда называется зарядом.

Таким образом, заряд — это знакопеременная -аддитивная мера.

Определение 20.2. Пусть заряд задан на -алгебре с единицей и множество Тогда А называется положительным (отрицательным) относительно если для любого множества выполнено неравенство

Нашей ближайшей целью будет показать, что для любого заряда множество X может быть разложено в дизъюнктное объединение положительного и отрицательного, относительно данного заряда, множеств, причем такое разложение в определенном смысле единственно. Нам понадобится одно вспомогательное утверждение.

Лемма 20.1. Пусть заряд на -алгебре с единицей X, и пусть существует такое множество что Тогда найдется отрицательное множество

Доказательство. Для упрощения записи множества будем называть измеримыми. Если для любого измеримого А С. В имеем то В само отрицательно. Предположим, что

Сначала предположим, что (хотя из устанавливаемой ниже теоремы 20.1 будет видно, что этот случай невозможен). Тогда можно выбрать измеримое множество с В так, что При этом если то Если то процесс заканчивается, а если нет, то можно выбрать измеримое так, что Предположим, что мы можем продолжать такой выбор сколь угодно долго. Тогда мы получим последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств при Но в этом случае

и мы приходим к противоречию. Поэтому для некоторого к получим, что причем . В этом случае будем искать удовлетворяющее условиям леммы множество среди измеримых подмножеств множества . В дальнейшем, не ограничивая общности, считаем, что

Выберем измеримое множество так, чтобы и пусть Тогда Если то можно взять в противном случае можно повторить изложенную выше операцию. В итоге либо на некотором шаге будет найдено отрицательное подмножество В, либо мы построим цепочку таких вложенных измеримых множеств что и

при . В этом случае можно взять

Отметим, что согласно теореме 6.1 и замечанию а из неравенства (20.1) следует, что не существует измеримого множества

Теорема 20.1. Пусть заряд на -алгебре с единицей Тогда существует такое множество что оно положительно, а множество отрицательно относительно заряда Представление называется разложением Хана заряда

Доказательство. Обозначим множество всех отрицательных множеств через и положим

Будем считать, что а иначе доказывать нечего. Пусть последовательность множеств из такова, что Тогда множество

и для любого выполнено равенство откуда (поэтому, в частности,

Докажем, что множество положительно. Если это не так, то существует измеримое Согласно лемме 20.1, можно выбрать отрицательное множество Но в этом случае множество отрицательно и Полученное противоречие доказывает теорему.

Установим единственность, в соответствующем смысле, разложения Хана.

Утверждение 20.1. Пусть заряд на -алгебре с единицей два разложения Хана. Тогда для любого имеем

Доказательство. Поскольку множество одновременно является подмножеством и Аналогично, Поэтому

Аналогично устанавливается второе равенство.

Определение 20.3. Если заряд на -алгебре с единицей его разложение Хана, то можно однозначно определить две -адцитивные меры Разложение называется разложением Жордана заряда а мера полной вариацией исходного заряда.

Определение 20.4. Пусть -конечное измеримое пространство, заряд на Тогда называется абсолютно непрерывным относительно меры если из того что вытекает, что

Лемма 20.2. Пусть конечное измеримое пространство, -аддитивная мера на абсолютно непрерывная относительно меры Тогда существуют такое натуральное число и такое множество что и В положительно относительно заряда

Доказательство. Пусть разложение Хана относительно заряда где При этом можно считать, что Далее, пусть

Очевидно, что Тогда для любого имеем т. е. откуда Поэтому а следовательно, и Согласно теореме 6.1 и замечанию 6.1 найдется такое что Но по определению множество положительно относительно заряда что и завершает доказательство.

Теперь мы установим основной результат данного параграфа.

Теорема 20.2 (теорема Радона-Никодима). Пусть -конечное измеримое пространство, заряд на абсолютно непрерывный относительно меры Тогда существует такая функция что для любого

При этом если для некоторой другой функции равенство (20.2) также выполняется для всех то почти всюду относительно меры

Доказательство. Благодаря наличию разложения Жордана, достаточно доказать теорему для случая, когда мера. Сначала рассмотрим случай Тогда определим множество

Пусть также

Тогда найдется такая последовательность , что

Определим при функцию

Тогда по теореме измерима на X, а поскольку

и при всех Проверим, что Неотрицательность этой функции очевидна. Далее,

Отсюда для любого имеем

т. е. действительно Заметим, что функции образуют неубывающую на X последовательность. Определим функцию Поскольку при

согласно следствию 16.1 функция конечна почти всюду на функция и

откуда

Теперь рассмотрим заряд

для любого Этот заряд, очевидно, неотрицателен (т. е. является -аддитивной мерой) и абсолютно непрерывен относительно меры Предположим, что Тогда по лемме 20.2 найдутся такое и такое множество что и для любого измеримого имеем т. е. Определим функцию при Тогда для любого имеем

Поэтому в то время, как

Полученное противоречие показывает, что на и для случая конечного измеримого пространства доказательство существования завершено.

Пусть теперь где при

Согласно уже рассмотренному случаю, для каждого найдется такая функция что для любого множества

Заметим, что все функции неотрицательны на области своего определения. Продолжим их нулем на все множества X и положим

Тогда

откуда Нужное нам равенство (20.2) сразу вытекает из равенств (20.3).

Проверим единственность с точностью до почти всюду построенной функции. Если для любого

то, обозначая

получим, что

Последнее равенство возможно, только если Аналогично, и теорема Радона-Никодима полностью доказана.

Замечание 20.1. В теореме Радона-Никодима нельзя отказаться от абсолютной непрерывности заряда относительно меры Это можно продемонстрировать на примере, когда классическая мера Лебега на отрезке [0, 1], а