§ 11. Множество Кантора и кривая Кантора

Построим множество Кантора на отрезке [0, 1]. Проведем его построение индуктивно. Пусть . На первом шаге выделим из середины отрезка интервал длины т. е. После этого остались невыделенными два отрезка причем мера каждого

из них равна Теперь предположим, что на шаге мы выделили интервалов мера каждого из которых равна 1, и после этого остались невыделенными отрезков той же длины. Тогда на шаге из середины любого отрезка где выделим интервал длины При этом в результате невыделенными останутся отрезков каждый длины

Теперь определим множества

и

Обычно канторовским множеством называют множество хотя, строго говоря, следует называть замкнутым канторовским множеством, открытым канторовским множеством.

Основные свойства канторовского множества таковы:

1) замкнуто;

2) нигде не плотно, т. е. в любом интервале найдется подинтервал, свободный от точек множества

3) мощность множества есть континуум;

4) классическая мера Лебега

Первое и второе свойства очевидны, четвертое сразу вытекает из представления (11.1) и непрерывности меры Лебега, а третье свойство есть следствие того, что множество с точностью до счетного множества концов интервалов, составляющих есть множество точек отрезка [0, 1], троичное разложение которых содержит лишь цифры и 2. Отметим также, что нетрудно построить по той же схеме множество, обладающее свойствами но имеющее положительную меру Лебега.

Множество Кантора, как правило, применяется для конструирования контрпримеров. Оно также используется при построении кривой Кантора, которое мы сейчас проведем.

Вначале индуктивно построим вспомогательную функцию которая будет определена на множестве состоящем из концов всех отрезков где

или, что то же самое, в концах всех смежных интервалов множества а также в точках и 1. На нулевом шаге определим функцию в концах отрезка так: Далее, пусть после шага, где функция определена в концах отрезков на шаге определим в тех концах отрезков где она еще не определена.

Именно, если то где Тогда положим

Таким образом, функция определена. Из построения очевидно, что монотонно возрастает на (поскольку она обладает этим свойством на каждом шаге построения) и что функция принимает на все значения вида где

Определим функцию

Тогда по своему определению функция монотонно неубывает на [0,1]. Кроме того, в силу монотонности функции на множестве при выполнено равенство Отсюда ясно, что множество значений функции всюду плотно на отрезке [0, 1], а следовательно, она непрерывна. Наконец (см. определение функции и (11.2)), функция постоянна на интервалах, образующих множество

Таким образом, можно выделить следующие основные свойства функции которую и называют кривой Кантора:

1. Функция монотонно неубывает на отрезке [0, 1].

2. Функция непрерывна на [0, 1].

3. Производная при т. е. почти всюду на [0, 1].

4. Функция не является тождественно постоянной на [0, 1].

Продемонстрируем полезность построенной функции.

Теорема 11.1. Существуют такая непрерывная функция взаимно однозначно отображающая отрезок [0, 1] на себя, и такая измеримая на этом отрезке относительно классической меры Лебега функция что

1) композиция неизмерима на

2) для некоторого измеримого по Лебегу множества прообраз неизмерим.

Доказательство. Пусть это кривая Кантора. Тогда функция монотонна, строго возрастает на [0, 1] и переводит [0, 1] в [0, 1]. По известной теореме математического анализа обратная функция существует и обладает теми же свойствами. Далее, функция переводит любой из интервалов, составляющих множество в интервал в два раза меньшей длины. Отсюда ясно, что и, следовательно, теореме 7.1 в множестве найдется неизмеримое подмножество

Терерь положим Поскольку и мера Лебега полна, множество измеримо по Лебегу. В то же время множество неизмеримо, и свойство 2 установлено. Для получения свойства 1 достаточно взять функцию т. е. при и при Тогда функция неизмерима.

Замечание 11.1. Попутно нами установлено, что мера Бореля неполна, и что класс множеств, измеримых по Борелю на прямой, уже класса множеств, измеримых относительно классической меры Лебега.

Замечание 11.2. Ниже мы систематически будем пользоваться обозначением для функции, равной 1 на множестве вне этого множества. Эту функцию называют характеристической функцией множества