ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МЕРЫ

§ 1. Множества и операции над ними. Системы множеств

Одним из основных понятий данного курса является понятие множества. На наш взгляд его разумно отнести к категории первичных, т. е. не определяемых через более простые. При этом, разумеется, следует иметь в виду, что неаккуратное использование термина «множество» может привести к противоречию. В качестве примера можно привести следующий хорошо известный парадокс Бертрана Рассела.

Пусть это множество всех множеств. Тогда состоит из двух подмножеств: где состоит из множеств, являющихся элементами самих себя, соответственно, из множеств, не являющихся собственными элементами. Тогда либо и мы приходим к противоречию с определением либо В последнем случае по определению множество должно являться собственным элементом, т. е. и мы снова приходим к противоречию.

Таким образом, видно, что, оперируя с понятием множества, необходимо соблюдать большую осторожность. Поскольку к настоящему времени не было обнаружено парадоксов в ситуациях, когда множество составлялось из уже описанных ранее элементов, таких как точки пространства функции на подмножествах упоминаемые в дальнейшем множества будут именно такими. Интересующихся более подробным изложением вопросов обоснования теории множеств отошлем к книге Ф. Хаусдорфа «Теория множеств» [12]. Отметим здесь лишь то, что в данном курсе безоговорочно принимается следующая аксиома Е. Цермело.

Пусть А — некоторое множество индексов и для любого задано некоторое множество причем

при где через обозначено пустое множество. Тогда можно составить множество С, выбрав из каждого по одному и только одному элементу.

Мы будем придерживаться обычных обозначений теории множеств, а именно:

и, наконец, запись означает, что Такое объединение ниже будем называть дизъюнктным.

В дальнейшем будут также использоваться стандартные тождества теории множеств. Не останавливаясь на их доказательстве ввиду его простоты, приведем здесь некоторые из этих тождеств:

В дальнейшем будут использоваться такие определения для систем множеств.

Определение 1.1. Система множеств называется полукольцом, если:

3) если то существует конечное число таких множеств что

Если при этом существует такое что для любого множество то называется единицей полукольца, полукольцом с единицей.

Примеры

1. Множество полуинтервалов включая пустой, образует полукольцо с единицей

2. Множество промежутков, т. е. интервалов, полуинтервалов или отрезков образует полукольцо с единицей

3. Примеры, аналогичные первому и второму, можно построить в пространстве где, например,

4. Совокупность всех открытых множеств на прямой не является полукольцом.

Определение 1.2. Непустая система множеств называется кольцом, если из того, что вытекает, что . Кольцо с единицей называется алгеброй.

Утверждение 1.1. Если кольцо, то полукольцо. Кроме того, если то

Доказательство. Второе требование из определения полукольца, очевидно, выполняется. Далее, откуда вытекает, что если то где Наконец, если то

Утверждение 1.2. Пересечение любого семейства колец является кольцом (возможно, состоящим лишь из пустого множества).

Доказательство. Пусть некоторое семейство колец и Тогда, так как при любом , мы имеем откуда ясно, что непустая система множеств. Пусть Тогда при любом а Так как кольцо, отсюда вытекает, что и Поскольку это справедливо для любого получим, что а это и требовалось доказать.

Следствие 1.1. Пересечение любого семейства алгебр с одной и той же единицей является алгеброй.

Утверждение 1.3. Пусть X — некоторая система множеств. Тогда существует такое кольцо что и если некоторое кольцо , то Это кольцо называется минимальным кольцом, содержащим данную систему множеств. Если система X обладает единицей, то является алгеброй.

Доказательство. Пусть Положим пусть множество всех подмножеств В. Отметим, что если X имело единицу то Тогда кольцо и Пусть совокупность всех колец, содержащих X и содержащихся в Положим Согласно утверждению кольцо.

Далее, очевидно, что

Пусть теперь кольцо Тогда согласно утверждению также является кольцом. Но следовательно, что и требовалось доказать.

Для дальнейшего понадобится одна лемма.

Лемма 1.1. Пусть полукольцо, множества попарно не пересекаются. Тогда найдутся такие множества , что

Доказательство. Применим метод индукции. При утверждение содержится в определении полукольца. Пусть и утверждение уже доказано для множества. Тогда

Положим при По определению полукольца при любом найдутся такие множества из что

Но тогда

Для завершения доказательства осталось заметить, что, так как

и , мы имеем откуда Тем самым лемма полностью установлена.

Теорема 1.1. Пусть полукольцо. Тогда минимальное кольцо, содержащее это т. е. является совокупностью всех конечных дизъюнктных объединений множеств из

Доказательство. Очевидно, что любое кольцо, содержащее содержит и Докажем, что кольцо. Пусть Тогда где все Положим при Тогда попарно не пересекаются и

Далее, по лемме 1.1

и

где при всех Тогда

и теорема полностью доказана.

Установим еще одно вспомогательное утверждение, которое будет использовано в дальнейшем.

Лемма 1.2. Если полукольцо и то найдутся такие попарно не пересекающиеся множества что каждое представляется в виде объединения некоторых В

Доказательство. Применим метод индукции. При утверждение очевидно. Пусть оно справедливо для где система множеств, удовлетворяющих условиям леммы для Положим при По лемме 1.1 имеем

где для любого и по определению полукольца

при где при всех Тогда множества

попарно не пересекаются, лежат в полукольце и при множество представляется в виде объединения некоторых элементов из этого набора. Тем самым лемма установлена.

Замечание 1.1. Ясно, что если то любое множество входящее в представление входит и в представление некоторого где

Определение 1.3. Система множеств называется -кольцом -кольцом), если кольцо и из того, что вытекает, что

Соответственно определяются -алгебра и -алгебра.

Утверждение 1.4. Любое -кольцо является -кольцом. Обратное, вообще говоря, неверно, но любая -алгебра является -алгеброй.

Доказательство. Пусть -кольцо и при Тогда

Далее, если -алгебра с единицей при то

В то же время -кольцо всех ограниченных подмножеств множества действительных чисел не является -кольцом.

Аналогично предыдущему, легко установить, что пересечение любого числа -колец является -кольцом и что существует наименьшее -кольцо, содержащее данную систему множеств. Если эта система множеств имеет единицу, то наименьшее -кольцо будет -алгеброй.

Определение 1.4. Борелевской -алгеброй называется наименьшая -алгебра, содержащая все открытые множества в