§ 16. Переход к пределу под знаком интеграла Лебега

Как и в предыдущем параграфе, будем предполагать, что -конечное измеримое пространство и множество Весьма важными результатами для любого интеграла являются теоремы о предельном переходе. Для интеграла Лебега основными являются нижеследующие три теоремы.

Теорема 16.1 (теорема Беппо Леви). Пусть функции измеримы на причем для любого Тогда если то

(здесь, обычно, допускаются бесконечные значения как функций, так и интегралов).

Доказательство. Положим . Все эти Функции, очевидно, неотрицательны и (см. замечание 10.5) измеримы на . Используя лемму 15.1, построим для любого фиксированного последовательность неотрицательных простых функций при на множестве Определим при функции

Тогда при будем иметь

Кроме того, для всех выполняются неравенства

и для любого фиксированного

откуда

Согласно утверждению 15.2 получаем, что

В то же время, поскольку для всех выполняется неравенство для любого имеем

Из формул (16.1) и (16.2) вытекает, что

Таким образом, теорема доказана.

Следствие 16.1. Пусть функции причем для любого и существует такая постоянная что

Тогда (а следовательно, конечна почти всюду на и

Иногда именно это утверждение называют теоремой Беппо Леви.

Доказательство. Рассмотрим функции при Ясно, что эта последовательность удовлетворяет условиям теоремы 16.1, а потому для неотрицательной измеримой функции

имеем

Из условия (16.3) вытекает, что Следовательно, Последнее утверждение следствия 16.1 получаем из равенства (16.4).

Следствие 16.2. Пусть функции измеримы и неотрицательны на и функция

Тогда

Доказательство. Введем функции

Тогда эта последовательность удовлетворяет условиям теоремы 16.1. Поэтому

что и требовалось доказать.

Теорем а 16.2 (теорема Фату). Пусть мера полна, а последовательность измеримых на неотрицательных функций и при почти всюду на множестве Тогда

Доказательство. Положим для Тогда для всех

для где Применяя теорему Беппо Леви, получим

Так как при всех имеем

отсюда вытекает требуемое утверждение.

Замечание 16.1. В теореме Фату и в доказываемой ниже теореме Лебега можно отказаться от условия полноты меры если либо потребовать сходимости не почти всюду, а всюду на множестве либо добавить условие измеримости предельной функции на множестве

Замечание 16.2. Пример последовательности на отрезке [0, 1] показывает, что в теореме Фату нельзя предельное неравенство заменить на равенство.

Теорема 16.3 (теорема Лебега). Пусть мера полна, а такая последовательность измеримых на функций, что существует функция для которой при всех при почти всюду на множестве Тогда функция и

Доказательство. Прежде всего отметим, что по теореме 15.5 функции при Поскольку из-за полноты меры функция измерима на Теперь рассмотрим при функции Тогда все эти функции неотрицательны на интегрируемы на этом множестве и почти всюду на имеем

По теореме Фату

Отсюда

т. е. существует

и теорема Лебега доказана.

Следствие 16.3. Утверждение теоремы Лебега остается верным, если условие сходимости последовательности к функции почти всюду на множестве заменить на условие сходимости по мере.

Доказательство. Поскольку по теореме Рисса некоторая подпоследовательность сходится к почти всюду на по теореме Лебега функция Предположим, что интегралы от не сходятся к интегралу от Тогда существуют такие и подпоследовательность что при любом к имеем

В то же время при к и по теореме Рисса найдется подпоследовательность почти всюду на Тогда по теореме Лебега

что противоречит неравенству (16.5).