ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

§ 14. Интеграл Лебега для простых функций

Определение 14.1. Пусть конечная действительнозначная функция измерима на -конечном измеримом пространстве ( и принимает лишь конечное число значений, причем любое ненулевое значение принимается на множестве конечной меры. Тогда функция называется простой на X (иногда указание на множество X будет опускаться). Иными словами, функция простая, если

где при если Замечание 14.1. Отметим, что в определении простой функции всегда можно считать, что

Определение 14.2. Пусть действительнозначная функция является простой на X и

где . В этом случае определим интеграл Лебега

(здесь формально считаем, что Заметим, что здесь, как и в определении 14.1, не предполагается, что при к

Замечание 14.2. Если то функция является простой на X и

Лемма 14.1. Величина интеграла Лебега от простой функции не зависит от способа ее представления в виде (14.1).

Доказательство. Пусть имеются два представления:

где Тогда каждое из равно одному из Определим при множества Тогда, очевидно, Поэтому

что и требовалось доказать.

Теорема 14.1 (линейность по функции). Если простые функции на X, а то функция также является простой на X и

Доказательство. Пусть

где Тогда

т. е. функция действительно является простой. Далее, принимая во внимание лемму 14.1, получим

что и требовалось доказать.

Сформулируем еще несколько очевидных утверждений об интегралах Лебега от простых функций.

Утверждение 14.1. Если простая функция на X, то

Следствие 14.1. Если простые функции и на то

Утверждение 14.2. Если простая функция, то

Утверждение 14.3 (линейность по множеству). Если простая функция и где то

В дальнейшем мы будем часто пользоваться следующим понятием.

Определение 14.3. Последовательность заданных на некотором множестве функций называется неубывающей (невозрастающей) на этом множестве, если для любого числовая последовательность является неубывающей (невозрастающей). Этот факт сокращенно будем записывать в виде

Теорема 14.2. Пусть -конечное измеримое пространство, и пусть множество Тогда если неубывающая последовательность простых неотрицательных функций на простая неотрицательная функция на и для любого выполнено неравенство то

Доказательство. Если предел бесконечен, то неравенство очевидно. Пусть этот предел конечен. Возьмем некоторое Определим функцию

где при при всех Определим для множества и положим Поскольку в силу монотонности последовательности имеем согласно следствию при Поэтому для любого имеем

В силу произвольности отсюда вытекает утверждение теоремы.