§ 22. Неравенства Гёльдера и Минковского. Пространства Lp

В этом параграфе будем придерживаться следующих обозначений.

Пусть Определим число

Таким образом, всегда

Лемма 22.1. Для любых и справедливо неравенство

Доказательство. Рассмотрим на плоскости кривую при Пусть — это площадь фигуры, ограниченной данной кривой, осью и прямой площадь фигуры, ограниченной этой же кривой, осью и прямой Тогда, очевидно,

что и требовалось доказать.

Теорема 22.1 (неравенство Гёльдера). Пусть а функции измеримы на -конечном измеримом пространстве и таковы, что Тогда и

Доказательство. Если хотя бы один из интегралов в правой части неравенства (22.1) равен нулю, то и соответствующая функция равна нулю почти всюду на . В этом случае и произведение почти всюду на X, а тогда утверждение теоремы, очевидно, верно. Пусть теперь

где Тогда если то

и согласно лемме 22.1 и теореме 15.5

а отсюда сразу вытекает утверждение теоремы.

Теорема 22.2 (неравенство Минковского). Пусть а функции измеримы на -конечном измеримом пространстве и таковы, что Тогда и

Доказательство. При наше утверждение сразу следует из теоремы 15.5. Пусть Тогда, поскольку для любого

то мы имеем Далее, отметим, что для любого

Тогда, поскольку применяя неравенство Гёльдера, получим

Если

то утверждение теоремы очевидно. В противном случае, деля обе части неравенства (22.2) на

получаем требуемое утверждение.

Дадим теперь важное определение линейного нормированного пространства.

Определение 22.1. Линейным нормированным пространством называется пара где линейное пространство над полем или а функция причем

1) тогда и только тогда, когда

2) для любого и для любого

3) для всех

В ряде случаев, когда это не может привести к путанице, линейное нормированное пространство обозначают просто

Определение 22.2. Пусть -конечное измеримое пространство. Тогда введем множество

и — совокупность всех измеримых на X функций, которые почти всюду на этом множестве равны нулю. Наконец, обозначим факторпространство через Если то положим

Отметим, что для вычисления нормы можно брать любого представителя из соответствующего функционального класса. С учетом этого в дальнейшем мы часто будем говорить об элементах пространства как о функциях.

Замечание 22.1. Из неравенства Минковского следует, что является линейным нормированным пространством.

Замечание 22.2. С учетом введенных обозначений неравенства Гёльдера и Минковского можно, соответственно, записать так:

Определение 22.3. Пусть -конечное измеримое пространство. Тогда введем множество

и обозначим факторпространство через . Естественным образом норма определена и на пространстве

Замечание 22.3. Неравенства Гёльдера и Минковского можно очевидным образом обобщить на случай (и, соответственно, Кроме того, ясно, что является линейным нормированным пространством.

Замечание 22.4. В случае когда X — это множество всех натуральных чисел, а мера любого множества — это число его элементов, неравенства Гёльдера и Минковского будут выглядеть так:

и

Последние неравенства часто называют неравенствами Гёльдера и Минковского для рядов. Отметим также, что в этом случае пространства где обозначаются

Замечание 22.5. В дальнейшем мы будем рассматривать пространства не только действительнозначных,

но и комплекснозначных функций. Измеримость в данном случае будет понимается как одновременная измеримость действительной и мнимой частей, а понятие нормы остается тем же. Аналогично и интегрируемость по Лебегу комплекснозначной функции определяется как одновременная интегрируемость действительной и мнимой части с соответствующим равенством для интегралов. Ниже мы будем в некоторых местах рассматривать интегралы от таких функций.

Следующее утверждение представляет собой простейший вариант теоремы вложения.

Утверждение 22.1. Если то т. е. если то и справедливо неравенство

Доказательство. Если то утверждение очевидно. В противном случае, применяя неравенство Гёльдера, получим

а это эквивалентно доказываемому утверждению.

Замечание 22.6. Рассмотрение функций вида позволяет установить, что, во-первых, вложения в утверждении 22.1, вообще говоря, строгие и, во-вторых, это утверждение уже неверно для множеств X с -конеч-ной мерой.