§ 4. Мера Бореля. Меры Лебега-Стилтьеса

Предположим, что мера Лебега была получена продолжением -аддитивной меры с полукольца промежутков -мерного отрезка где В — борелевская -алгебра (см. определение 1.4). Очевидно, что также является -алгеброй и что если -алгебра множеств, измеримых по Лебегу, то

Определение 4.1. Мерой Бореля называется мера, заданная на и совпадающая там с мерой Лебега

Ясно, что мера Бореля является -аддитивной мерой, заданной на некоторой -алгебре. В дальнейшем мы увидим, что область определения у меры Бореля уже, чем у соответствующей меры Лебега.

Еще одним важным классом мер являются меры Лебега — Стилтьеса на прямой.

Пусть монотонно неубывающая на функция, непрерывная слева в любой точке и ограниченная на

Далее, пусть дано полукольцо с единицей

(где, возможно, Определим на функцию где Ясно, что - мера на .

Теорема 4.1. Мера -аддитивна на

Доказательство. Пусть

где конечны. Далее, в силу того, что всюду непрерывна слева, для фиксированного можно выбрать точки так, чтобы при Отметим, что

Тогда по лемме найдется конечное число интервалов из правой части покрывающих и тем более

По лемме 2.1 имеем

В силу произвольности отсюда получаем, что

Если

где конечно и то по доказанному выше

Аналогично устанавливается, что оценки (4.1) и (4.2) справедливы и для

Обратное неравенство вытекает из следствия 2.1, и, таким образом, теорема установлена.

Определение 4.2. Мерой Лебега-Стилтьеса на прямой называется лебеговское продолжение описанной выше меры

Замечание 4.1. Меру Лебега-Стилтьеса можно строить и на подмножествах отрезков прямой. Для этого достаточно продолжить функцию вне рассматриваемого отрезка ее значениями на концах отрезка.

Меры Лебега-Стилтьеса можно определять и в при Этот вопрос подробно изучается в книге . Толстова [13]. Мы приведем здесь только определение для двумерного случая. Пусть имеется прямоугольник функция и полукольцо Пусть также для любого определена функция

Тогда будет мерой на Если же, вдобавок, для любой точки и для любых выполнено равенство

то эта мера будет -аддитивной на Соответствующие доказательства во многом аналогичны одномерным, но технически гораздо сложнее. Продолжая указанную выше меру по Лебегу, получим меру, которая называется мерой Лебега-Стилтьеса, порожденной функцией