§ 26. Неопределенный интеграл Лебега

Пусть классическая мера Лебега на отрезке а функция Тогда определим функцию

при Назовем ее неопределенным интегралом Лебега функции (естественность такого определения будет ясна из дальнейших результатов).

Утверждение 26.1. Функция

Доказательство. Пусть задано По теореме об абсолютной непрерывности интеграла Лебега, найдется такое что для любого измеримого множества имеем

Теперь если такая система непересекающихся интервалов отрезка что

то

а это и надо было проверить.

Введем теперь в рассмотрение так называемую максимальную функцию. Пусть неопределенный интеграл Лебега функции Тогда положим

при

Для установления дальнейших результатов нам понадобится одно вспомогательное утверждение.

Лемма 26.1. Если функция ее неопределенный интеграл Лебега, то при всех справедлива оценка

Доказательство. Прежде всего установим, что множество измеримо. Действительно,

Так как при всех и А функции непрерывны по все множества открыты. Поэтому множество борелевское, а следовательно, и измеримое. Теперь заметим, что для любого существует последовательность сходящаяся к нулю и такая, что при всех

Тогда совокупность отрезков покрывает множество в смысле Витали. Применив следствие 9.2, установим существование такого набора попарно непересекающихся отрезков

С другой стороны,

Из последних двух оценок и вытекает утверждение леммы.

Отметим, что оценки, аналогичные только что установленой, называются оценками слабого типа. В последнее время они часто используются в различных доказательствах. Примером может служить следующее утверждение (его можно было бы установить исходя из теоремы о существовании почти всюду производной у монотонной функции на отрезке, но мы дадим более простое доказательство).

Теорема 26.1. Если функция ее неопределенный интеграл Лебега, то для почти всех существует

Доказательство. Определим согласно теореме 23.3 последовательность таких непрерывных на отрезке функций что при Определим при функции

По лемме 26.1 имеем

Применяя неравенство Чебышева, получим

Теперь определим множество

и положим Тогда, поскольку для каждого имеем

мера Пусть Тогда найдется такое что при

Пусть задано Фиксируем некоторое и затем, учитывая непрерывность функции подберем так, чтобы

и чтобы

при Тогда при будем иметь

а отсюда сразу вытекает доказываемое утверждение. Верен и обратный результат.

Теорема 26.2. Пусть функция Тогда почти всюду на существует производная при

Доказательство. Поскольку, как было установлено в утверждении 25.2, любую функцию можно представить в виде разности двух монотонно неубывающих

на абсолютно непрерывных функций, теорему достаточно доказать для монотонно неубывающей . В этом случае определим на полукольце интервалов меру и продолжим ее по Лебегу. Получим некоторую меру заданную на -алгебре Пусть классическая мера Лебега задана на -алгебре подмножеств Тогда на -алгебре заданы две меры Предположим, что множество и Пусть задано некоторое и мы подобрали соответствующее из определения абсолютной непрерывности функции Тогда множество можно покрыть счетным числом полуинтервалов Для которых

Можно считать (см. утверждение 3.1), что эти промежутки попарно не пересекаются. Учитывая, что функция монотонна, будем иметь

Это означает, что т. е. мера абсолютно непрерывна относительно меры По теореме Радона-Никодима найдется функция интегрируемая по Лебегу на полуинтервале относительно меры и такая, что для каждого множества имеем

В частности,

при По непрерывности то же равенство справедливо и для Наконец, по теореме 26.1 почти всюду на имеет место равенство Тем самым, теорема полностью доказана.

Теорема 26.1 позволяет установить одно любопытное свойство измеримых множеств на прямой. Предварительно дадим определение.

Определение 26.1. Пусть измеримое относительно классической меры Лебега подмножество прямой и точка Тогда будем говорить, что точка плотности множества если существует предел

Следствие 26.1. Почти все точки измеримого множества на прямой являются его точками плотности.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда измеримое множество Определим при функцию

Тогда по теореме 26.1 почти всюду на имеем откуда ясно, что для почти всех выполнено равенство Но в любой такой точке имеем

а это и требовалось установить.

Теоремы 26.1 и 26.2 дают эквивалентное описание класса абсолютно непрерывных функций как класса неопределенных интегралов Лебега. Теперь мы установим теоремы об интегрировании по частям и о замене переменной в интеграле Лебега.

Теорема 26.3 (теорема об интегрировании по частям). Пусть функции Тогда выполняется равенство

Доказательство. Согласно теореме 25.1 функция Тогда по теореме 26.2 имеем

Для завершения доказательства остается только заметить, что

Теорема 26.4 (теорема о замене переменной). Пусть функция а функция монотонна на отрезке Тогда функция и имеет место равенство

Доказательство. Сначала дадим независимое доказательство для случая, когда и обратная функция абсолютно непрерывна на Введем функцию

Согласно теореме 25.2 функция Тогда по теореме 26.2 имеем и

Далее, заметим, что если А — это множество таких точек отрезка что либо не существует, либо то в силу абсолютной непрерывности функции имеем Тогда почти всюду на выполняется равенство

и в этом случае теорема полностью установлена.

Теперь рассмотрим общую ситуацию. Пусть полукольцо промежутков отрезка и Тогда

т. е. для функции утверждение теоремы справедливо. В силу линейности интеграла Лебега формула (26.1) остается справедливой и для характеристической функции произвольного множества

Теперь предположим, что задана некоторая последовательность измеримых подмножеств отрезка причем для функций при верно равенство (26.1) (здесь, разумеется, предполагается и существование интеграла Лебега в правой части указанного равенства). Тогда, поскольку на по теореме Б. Леви формула (26.1) верна и для функции Аналогичное утверждение справедливо и для характеристической функции множества если измеримые подмножества отрезка и формула (26.1) верна для каждой функции

Согласно теореме 9.1, если множество измеримо по Лебегу, то

где все для любого фиксированного выполнены условия и если то При этом можно считать, что По доказанному выше для характеристической функции множества формула (26.1) верна. Теперь предположим, что произвольное измеримое множество с Тогда и Поскольку для всех у и

нетрудно видеть, что почти всюду на Но в этом случае и почти всюду на откуда в силу полноты классической меры Лебега вытекает, что эта функция измерима на и для нее выполняется равенство (26.1). Если теперь рассмотреть произвольное измеримое множество то, так как формула (26.1) верна для функций

т. е. и в этом случае верно равенство (26.1).

Снова пользуясь линейностью интеграла Лебега, получаем, что утверждение теоремы выполнено для любой простой функции. Пусть неотрицательная измеримая на функция. Построим последовательность простых неотрицательных функций при на Тогда, так как по теореме Б. Леви имеем

Если же произвольная функция то, представляя в виде разности двух неотрицательных функций из и пользуясь равенством (26.2), установим справедливость теоремы 26.4 в общем случае,