§ 2. Конечные меры на системах множеств

Определение 2.1. Пусть полукольцо множеств, и задано отображение Тогда называется мерой, если из того, что где вытекает, что Если же, вдобавок, для любых таких что имеет место равенство то называется -аддитивной мерой.

Установим два вспомогательных утверждения.

Лемма 2.1. Если мера на полукольце множества , то

Доказательство. По лемме 1.2 найдутся такие попарно не пересекающиеся множества что каждое из множеств может быть представлено в виде объединения некоторых В При этом (см. замечание 1.1) любое используемое в разложении А, входит в разложение хотя бы одного из где Кроме того, можно считать, что любое из множеств входит в некоторое разложение. Тогда

что и требовалось доказать.

Лемма 2.2. Если мера на полукольце множества а множества при попарно не пересекаются, то

Доказательство. По лемме 1.1 найдутся такие множества что Тогда

а это и надо было установить.

Следствие 2.1. Если мера на полукольце

Доказательство. Так как для любого имеем , по лемме 2.2 получаем

Совершив предельный переход, установим справедливость следствия.

Теперь приведем важный пример, с которого, собственно, и началась теория меры.

Пусть полукольцо промежутков

Положим

Неотрицательность функции очевидна. Докажем, что аддитивна. Доказательство проведем индукцией по размерности пространства. При утверждение очевидно. Пусть и аддитивность введенной функции уже установлена для размерности Тогда если

то рассмотрим точки Упорядочив их в порядке возрастания, получим разбиение отрезка Теперь положим

Тогда, обозначая через проекцию множества на -мерное подпространство, натянутое на первые базисных вектора, имеем

Тогда при любом имеем

Используя предположение индукции, имеем

что и требовалось доказать.

Теорема 2.1. Введенная в предыдущем примере мера -аддитивна.

Доказательство. Пусть

Для любого выберем -мерный отрезок так, чтобы выполнялось неравенство и -мерные интервалы так, чтобы выполнялись неравенства при Тогда, так как, очевидно, что

по лемме Гейне-Бореля можно выбрать конечное число интервалов, покрывающих где По лемме 2.1

откуда, в силу произвольности получаем, что

Обратное неравенство составляет утверждение следствия 2.1 и, таким образом, теорема установлена.

Приведенные выше примеры показывают, что полукольца, вообще говоря, являются довольно бедными системами множеств, а потому естественно ставить вопрос о распространении меры на более широкие классы. Первым шагом в этом направлении является следующая теорема.

Теорема 2.2. Пусть мера на полукольце

— наименьшее кольцо, содержащее Тогда функция , задаваемая на элементе кольца где формулой

является мерой на При этом, очевидно, для

Доказательство. Вначале проверим корректность определения функции Если имеется другое представление где то, полагая получим, что

для всех а потому,

Тогда

откуда и вытекает корректность определения функции Ее неотрицательность очевидна. Далее, пусть Тогда для любого имеем где все Отсюда

а потому

и теорема 2.2 установлена.

Замечание 2.1. Ясно, что продолжение меры с на единственно.

Следующая теорема устанавливает важнейшее свойство продолженной меры.

Теорема 2.3. Если -аддитивная мера на полукольце то мера -аддитивна на кольце

Доказательство. Пусть где Тогда при где все Полагая при всех получим

при Отсюда в силу -аддитивности меры имеем

а это и нужно было установить.

Отметим еще одно свойство -аддитивных мер на полукольцах, которое любопытно сравнить со следствием 2.1.

Следствие 2.2. Если -аддитивная мера на кольце , множества то

(здесь и далее допускаются бесконечные значения в неравенствах).

Действительно, если при то для любого множество

Тогда