§ 3. Внешняя мера. Продолжение меры по Лебегу и по Жордану

В предыдущем параграфе изучалось продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо. Стандартный пример полукольца промежутков -мерного отрезка показывает, что и минимальное кольцо, содержащее данное полукольцо, представляет из себя не слишком богатую систему множеств. Поэтому возникает вопрос о возможности дальнейшего продолжения меры. Оказывается, что это возможно сделать, если исходное полукольцо имеет единицу, а мера -адцитивна. Основными продолжениями в этом случае являются продолжения по Лебегу и по Жордану. Для их изучения нам понадобятся понятия соответствующих внешних мер.

Итак, пусть на полукольце с единицей задана -аддитивная мера Мы будем считать, что это продолжение меры на кольцо

Определение 3.1. Если множество то его внешняя мера Жордана

Определение 3.2. Если множество то его внешняя мера Лебега

Таким образом, с формальной точки зрения внешняя мера Лебега отличается от внешней меры Жордана не слишком сильно. Тем не менее, это принципиально разные понятия. Так, например, при стандартном определении меры на полукольце промежутков на отрезке [0, 1] внешняя мера Лебега множества всех рациональных чисел равна 0, а внешняя мера Жордана этого множества равна 1. Отметим также, что наличие единицы в полукольце обеспечивает конечность внешней меры для любого

Замечание 3.1. Из следствия 2.2 вытекает, что если то Действительно, если

где то по определению

С другой стороны, если

где то согласно следствию 2.2

Переходя в правой части последнего неравенства к нижней грани по всем наборам покрывающим А, получим, что а это и надо было проверить. Для меры Жордана доказательство аналогично.

Замечание 3.2. При любом выполнено неравенство

Утверждение 3.1. Величина внешних мер Лебега и Жордана не изменится, если в определениях рассматривать покрытия множества А только системами попарно непересекающихся множеств из

Доказательство. Установим этот факт для внешней меры Лебега (в случае меры Жордана доказательство такое же).

Пусть множества Положим при Тогда множества попарно не пересекаются и . Кроме того при любом Поэтому

при где все множества Но тогда

причем

Из последнего неравенства вытекает, что

Поскольку обратное неравенство очевидно, утверждение установлено.

Основное свойство внешней меры Лебега устанавливается в следующем утверждении.

Теорема 3.1. Если множества то

Доказательство. Пусть задано Тогда по определению внешней меры Лебега для любого найдутся такие множества что и

Но тогда следовательно,

Отсюда в силу произвольности и вытекает утверждение теоремы.

Следствие 3.1. Для любых имеет место оценка

Такое же утверждение справедливо и для внешней меры Жордана.

Доказательство. Действительно, считая для определенности, что и используя тот факт, что по теореме 3.1 имеем , а это и нужно было установить.

Замечание 3.3. Аналогичное теореме 3.1 утверждение справедливо и для внешней меры Жордана, но только для случая конечных объединений множеств. Доказательство этого факта проводится точно так же.

Определение 3.3. Скажем, что множество измеримо по Лебегу (по Жордану), если для любого существует такое множество что Обозначим соответственно через совокупность всех подмножеств измеримых по Лебегу и по Жордану.

Из замечания 3.2 следует, что Кроме того, ясно, что Приведенный выше пример множества всех рациональных чисел на [0, 1] показывает, что, вообще говоря,

Теорема 3.2. Множества являются алгебрами.

Доказательство. Докажем теорему лишь для так как для доказательство аналогично. Очевидно, что Предположим, что множества Для заданного выберем так, чтобы Тогда, так как множества и

имеем (см. теорему 3.1)

и

В силу произвольности отсюда вытекает, что и, таким образом, теорема доказана.

Теорема 3.3. На множестве функция аддитивна.

Доказательство. Снова рассмотрим только случай Достаточно доказать аддитивность внешней меры для дизъюнктного объединения двух множеств из Итак, пусть Тогда по теореме а по теореме 3.1

Возьмем некоторое и выберем множества так, чтобы Поскольку

по теореме 3.1

Далее,

и так как не пересекаются, то

Учитывая, что (см. замечание 3.1) на функция совпадает с аддитивной функцией и, отсюда получаем, что

Тогда, используя следствие 3.1 и оценку (3.2), будем иметь

Так как произвольно, то

Отсюда и из неравенства (3.1) следует справедливость утверждения теоремы.

Таким образом, установлено, что функции являются мерами на алгебрах соответственно.

Определение 3.4. Мера на называется мерой Лебега. Соответственно мера на называется мерой Жордана.

Для меры Лебега устанавливаются следующие две теоремы. Теорема 3.4. Множество является -алгеброй.

Доказательство. Пусть Полагая при видим, что При любом фиксированном поскольку имеем

откуда

Теперь для заданного выберем так, чтобы

Далее, так как является алгеброй, найдется такое множество что

Поскольку

воспользовавшись теоремой 3.1, получим

Тем самым измеримость А проверена, и теорема 3.4 установлена.

Теорема 3.5. Мера Лебега -аддитивна на

Доказательство. Пусть Тогда и по теореме 3.3 при любом имеем

откуда

Обратное неравенство вытекает из теоремы 3.1, и наше утверждение доказано.

Заметим, что, как показывает все тот же пример множества рациональных чисел на отрезке [0, 1], утверждение теоремы 3.4 уже, вообще говоря, несправедливо для меры Жордана. В то же время, результат теоремы 3.5 сохраняет силу и для что является тривиальным следствием следующего утверждения.

Теорема 3.6. Если то

Доказательство. Выше уже отмечалось, что и (см. замечание 3.2)

С другой стороны, выбирая для заданного множество так, чтобы будем иметь (см. следствие 3.1)

откуда и утверждение установлено.

Таким образом, в этом параграфе были конструкции абстрактных мер Лебега и Жордана. Важнейшей из этих мер является мера Лебега, построеная на -алгебре подмножеств -мерного отрезка и являющаяся продолжением меры, описанной в начале § 2. Эту меру в дальнейшем будем называть классической мерой Лебега.

Замечание 3.4. Если исходная мера была задана на полукольце промежутков -мерного отрезка равенством

то исходя из процесса построения мер Лебега и Жордана ясно, что они будут инвариантны относительно сдвигов, т. е. множества где при условии либо одновременно неизмеримы, либо одновременно измеримы, причем в последнем случае их меры равны.