§ 32. Теорема Карлемана и неусиляемость теоремы Хаусдорфа-Юнга

В предыдущем параграфе речь шла об общих ортонормированных системах в функциональных пространствах и ничего не говорилось о конкретных примерах таких систем. Самой известной из них, пожалуй, является тригонометрическая система ортонормированная в пространстве с классической мерой Лебега (теория тригонометрических рядов Фурье очень подробно рассматривается в монографиях Бари [7] и А. Зигмунда [8]). Существует и много других важных ортонормированных систем, но изложение их теории выходит за рамки этой книги. Тригонометрическая же система понадобится нам для демонстрации невозможности распространения результата первой части теоремы Хаусдорфа—Юнга на а второй — на Для этого будут использоваться так называемые полиномы Рудина-Шапиро,

представляющие и самостоятельный интерес. Приведем вначале необходимые пояснения. Пусть имеется полином вида

где при любом Тогда

Таким образом, ни при каком выборе чисел равных по модулю 1, нельзя сделать максимум модуля по порядку меньше . В то же время, порядок может быть достигнут даже при выборе Точнее, справедливо даже несколько более сильное утверждение.

Лемма 32.1 (Рудин-Шапиро). Существует такая последовательность что всех и

при

Доказательство. Пусть Построим индуктивно две последовательности полиномов и -Положим и пусть

при

Ясно, что при любом к степени равны потому первые коэффициентов полинома совпадают с аналогичными коэффициентами полинома По той же причине все коэффициенты полиномов равны ±1. Теперь можно положить равным коэффициенту при в полиномах где Учитывая, что рассмотрим сумму

Таким образом,

при всех k.

Введем следующее обозначение. Если полином то частичная сумма Теперь установим, что если к то всех Проверим это по индукции. При данное утверждение очевидно. Пусть оно справедливо для и пусть Тогда если то

Если , то

Аналогично проверяется, что

Теперь можно установить оценку теоремы. Если задано натуральное то подберем к так, чтобы Тогда

что и требовалось доказать.

Теорема 32.1 (Карлеман). Существует такая -периодическая непрерывная на всей прямой функция что для ее коэффициентов Фурье по тригонометрической системе при любом имеем

Доказател ьство. Пусть последовательность из теоремы Рудина-Шапиро. Рассмотрим ряд

По лемме 32.1 имеем

Отсюда по теореме Вейерштрасса ряд (32.1) сходится равномерно, а его сумма, которую мы обозначим через является непрерывной на всей прямой функцией. При этом, очевидно, коэффициенты Фурье где Тогда при любом

а это и надо было проверить.

Из теоремы Карлемана вытекает невозможность усиления первой части теоремы Хаусдорфа-Юнга.

В заключение, покажем, что и вторая часть теоремы Хаусдорфа-Юнга не допускает усиления.

Теорема 32.2. Существует такой ряд

что

при но не является рядом Фурье никакой интегрируемой по Лебегу на функции.

Доказательство. Рассмотрим ряд

Ясно, что при любом

Как было отмечено при доказательстве предыдущей теоремы, при всех другой стороны, Поэтому

или Следовательно, для -нормы разности частичных сумм ряда (32.3) имеем оценку

С другой стороны, если бы ряд (32.3) был рядом Фурье некоторой интегрируемой по Лебегу функции то при всех к выполнялось бы неравенство (мы пользуемся хорошо известной оценкой интеграла от модуля тригонометрического ядра Дирихле)

где Полученное противоречие доказывает теорему.

Замечание 32.1. Выше теорема Карлемана была установлена только для частного случая тригонометрической системы. Однако и для других ограниченных в совокупности ортонормированных систем справедливо аналогичное утверждение. Подробности можно найти в книге Б. С. Кашина и А. А. Саакяна [15].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)