§ 29. Ортонормированные системы в гильбертовых пространствах

Определение 29.1. Пусть евклидово пространство и система где А — некоторый набор индексов. Тогда эта система называется ортонормированной, если

Определение 29.2. Пусть евклидово пространство и система Тогда эта система называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.

Утверждение 29.1. Если система ортонормирована, то она линейно независима.

Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда существуют такие элементы и такие одновременно не равные нулю числа что

Пусть для определенности Тогда, домножая скалярно обе части равенства (29.1) на получим, что Данное противоречие доказывает утверждение.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением счетных ортономированных систем.

Теорема 29.1 (процесс ортогонализации Гильберта—Шмидта). Пусть евклидово пространство, и пусть линейно независимая последовательность. Тогда существует такая ортонормированная система что любого к подпространства представляющие собой линейные оболочки множеств соответственно, совпадают.

Доказательство. Проверим утверждение по индукции. Поскольку все (иначе система была бы линейно зависима), можно определить

Очевидно, что Пусть уже построены элементы удовлетворяющие условию теоремы. Тогда положим

Проверим предположение индукции. При к — 1 имеем откуда Далее, очевидно, что и что Тогда Кроме того, по предположению индукции

а потому Теорема доказана.

Теорема 29.2 (неравенство Бесселя). Пусть евклидово пространство и ортонормированная система в Тогда для любого справедливо неравенство

Доказательство. Фиксируем некоторое и обозначим через линейную оболочку векторов По теореме откуда

где при Умножая скалярно обе части последнего равенства на получим, что Далее,

Ввиду произвольности отсюда вытекает требуемое неравенство.

Числа при называются коэффициентами Фурье элемента по ортонормированной системе

Следствие 29.1. Пусть евклидово пространство и ортонормированная система в Тогда для любого последовательность (см. § 22).

Теорема 29.3 (теорема Рисса-Фишера). Пусть гильбертово пространство, ортонормированная система в и задана последовательность комплексных чисел Тогда существует такое что при и

при

Доказательство. Пусть

при Тогда для любого натурального имеем

при к Следовательно, в при к Далее, для любого и для любого имеем

Так как правая часть неравенства не зависит от и стремится к при к отсюда что и требовалось доказать.

Аналогично равенству (29.2) проверяется справедливость следующего утверждения.

Утверждение 29.2. Если ортонормированная система в гильбертовом пространстве и

где равенство понимается в смысле нормы пространства то при всех

Определение 29.3. Линейное нормированное пространство называется сепарабельным в том случае, когда в нем существует счетное всюду плотное множество.

Заметим, что из доказанной ранее теоремы 23.3 следует сепарабельность пространств при Очевидно также, что сепарабельны пространства при . В то же время несложно показать, что пространства и несепарабельны.

Определение 29.4. Пусть гильбертово пространство и линейно независимая система в Тогда эта система называется базисом в том случае, когда для любого можно единственным образом подобрать такие комплексные числа что

где равенство понимается в смысле нормы пространства

Теорема 29.4. Пусть сепарабельное гильбертово пространство. Тогда в существует ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть всюду плотное множество в Последовательно удалим из него линейно

зависимые элементы. Для простоты будем считать, что исходная система линейно независима. Отметим, что замыкание линейной оболочки элементов X совпадает с Применим к X процесс ортогонализации Гильберта-Шмидта. Получим такую ортонормированную систему что замыкание линейной оболочки элементов совпадает с Докажем, что базис. Пусть Тогда, согласно неравенству Бесселя, последовательность По теореме Рисса-Фишера найдется элемент гильбертова пространства

Согласно утверждению при всех Предположим, что Тогда подберем такой элемент вида

что Тогда и

Полученное противоречие показывает, что Единственность представления вытекает из утверждения

Следствие 29.2 (равенство Парсеваля). Если ортонормированный базис в гильбертовом пространстве то для каждого имеет место равенство

Доказательство. Обозначая

при и используя неравенство Бесселя, получим

при что и требовалось доказать.

Теперь мы можем установить важный результат, говорящий о том, что по-существу есть лишь одно сепарабельное гильбертово пространство. Предварительно дадим определение.

Определение 29.5. Два евклидовых пространства называются изоморфными, если существует взаимно однозначное линейное отображение этих пространств, сохраняющее скалярное произведение.

Следствие 29.3. Любые два сепарабельных гильбертовых пространства изоморфны.

Доказательство. Мы докажем, что всякое сепарабельное гильбертово пространство изоморфно пространству Для этого выберем в согласно теореме 29.4 ортонормированный базис и поставим в соответствие любому элементу последовательность его коэффициентов Фурье по этому базису. Взаимная однозначность данного отображения вытекает из теорем 29.2, 29.3 и определения базиса, а его линейность очевидна. По следствию 29.2 это отображение сохраняет норму, а тогда, в силу равенств

и

сохраняется и скалярное произведение.

На этом мы закончим изложение теории гильбертовых пространств, отсылая заинтересованных читателей к книге Колмогорова и С. В. Фомина [4].