§ 17. Дальнейшие свойства интеграла Лебега

В этом параграфе снова будем считать, что -конечное измеримое пространство и множество Прежде всего докажем важную теорему о линейности интеграла по множеству.

Теорема 17.1. Пусть функция и

где множества измеримы при всех Тогда для любого функция и

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай Очевидно, что для любого выполняется неравенство откуда или, что то же самое, Кроме того,

Тогда согласно следствию 16.2

что и требовалось доказать.

Следующая теорема говорит о непрерывности интеграла Лебега как функции множества.

Теорема 17.2 (об абсолютной непрерывности интеграла Лебега). Пусть функция Тогда для любого найдется такое что если множество то

Доказательство. Из условия ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда функция неотрицательна. Выберем простую неотрицательную функцию так, чтобы

Пусть

где множества попарно не пересекаются. Тогда возьмем

Теперь если то

что и требовалось доказать.

Теорема 17.3 (неравенство Чебышева). Пусть неотрицательная функция Тогда если определить для множество

то справедливо неравенство

Доказательство. В соответствии с теоремой

что эквивалентно доказываемому утверждению.

Следствие 17.1. Если измеримая на функция неотрицательна и

то почти всюду на

Доказательство. Из неравенства Чебышева для любого натурального имеем

Поскольку

До сих пор мы практически не могли судить об интегрируемости по Лебегу той или иной конкретной функции, не являющейся простой. Следующий результат позволит нам сделать это для функций, измеримых на множествах конечной меры.

Предварительно введем некоторые обозначения. Пусть функция измерима на множестве Введем множества

Теорема 17.4 (критерий интегрируемости по Лебегу на множествах конечной меры). Пусть и функция измерима на Тогда в том и только в том случае, когда

В частности, любая ограниченная измеримая функция на множестве конечной меры интегрируема по Лебегу.

Доказательство. Прежде всего заметим, что поскольку интегрируемость измеримой функции эквивалентна интегрируемости ее модуля, теорему достаточно доказать для неотрицательных Определим функцию

Поскольку, очевидно, для любого функция в том и только в том случае, когда Согласно следствию 16.2

Отсюда и вытекает утверждение теоремы.