§ 18. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана

Заметим, что, несмотря на доказанный в предыдущем параграфе критерий интегрируемости по Лебегу, мы можем практически вычислить интеграл Лебега лишь для простых функций. Для классической меры Лебега на отрезке в этот недостаток отчасти устраняется следующей теоремой.

Теорема 18.1. Пусть классическая мера Лебега на -мерном отрезке функция интегрируема по Риману на этом отрезке и

Тогда и

Доказательство. Пусть Для каждого определим точки где Пусть также при Далее, при всех где при положим и определим величины

и

Теперь введем функции

при

Заметим, что при любом функции простые, а по определению интеграла Римана

Кроме того, для любого имеем последовательность не возрастает, а последовательность не убывает на отрезке Тогда при существуют пределы

При этом по следствию 16.1 (см. (18.1))

Отсюда

и применяя следствие 17.1, получим, что почти всюду на Последнее равенство означает, что почти всюду на и (см. (18.2))

Что и требовалось доказать.

Замечание 18.1. Пример функции Дирихле, равной нулю во всех иррациональных точках одномерного отрезка [0, 1] и единице во всех рациональных точках этого отрезка, показывает, что даже не всякая ограниченная интегрируемая по Лебегу функция интегрируема по Риману.

Несколько более сложным образом интеграл Лебега связан с несобственным интегралом Римана на отрезке. С одной стороны, пример из замечания 18.1 показывает, что из интегрируемости по Лебегу, вообще говоря, не вытекает и интегрируемость в несобственном смысле по Риману. С другой стороны, функция при интегрируема по Риману в несобственном смысле, но не интегрируема по Лебегу. В то же время справедлив, например, следующий результат.

Теорема 18.2. Пусть классическая мера Лебега на одномерном отрезке функция неотрицательна

и интегрируема по Риману на этом отрезке в несобственном смысле, причем

Тогда и

Доказательство. Пусть при где , и функции

Тогда в силу неотрицательности функции последовательность на Далее, при любом по теореме 18.1 функция и

Применяя следствие 16.1, получим

а это и нужно было установить.