§ 15. Интеграл Лебега для произвольных измеримых функций

Как и в предыдущем параграфе, будем считать, что задано -конечное измеримое пространство и множество Кроме того, здесь и далее мы будем придерживаться определений арифметических операций с бесконечными величинами из замечания 10.5. Если функция определена и неотрицательна на множестве то обозначим

Определение 15.1. Пусть неотрицательная измеримая функция на Тогда назовем интегралом Лебега этой функции по данному множеству следующее число:

(здесь допускается и бесконечное значение). Если данный интеграл конечен, то будем говорить, что (функция интегрируема по Лебегу на множестве

Теперь для произвольной измеримой функции на определим две функции

Определение 15.2. Если функция измерима на множестве то будем говорить, что в том и только в том случае, когда одновременно Если последние условия выполняются, то положим

Замечание 15.1. Из определений 15.1 и 15.2 ясно, что если а функция измерима на то в том и только в том случае, когда При этом если то

Утверждение 15.1. Для простых функций значении интеграла Лебега, полученные согласно определениям 14.2 и 15.2, совпадают.

Доказательство. Если простая функция неотрицательна, то утверждение сразу вытекает из следствия 14.1. Для функций произвольного знака надо еще воспользоваться теоремой

Утверждение 15.2. Если неубываю последовательность простых неотрицательных функ на то

Доказательство. Существование и измеримость функции очевидна (еще раз отметим, что мы не исключаем из рассмотрения функции, принимающие бесконечные значения). Из определения интеграла ясно, что

Обратно, если неотрицательная простая функция на то откуда по теореме 14.2 имеем

Переходя к верхней грани по всем таким устанавливаем справедливость утверждения.

Следующая лемма чрезвычайно важна и будет многократно использована ниже.

Лемма 15.1. Пусть неотрицательная измеримая функция на Тогда существует неубывающая на последовательность неотрицательных простых функций сходящаяся к в каждой точке

Доказательство. Представим множество в виде

где при (если то берем Положим

Докажем, что эта последовательность монотонно неубывает на множестве Пусть натуральное число и точка Если то Если а следовательно,

Если же где

Поэтому либо либо , но в обоих случаях

Теперь докажем, что при функции Действительно, если то для некоторого должны выполняться условия Поэтому при имеем Если же то для достаточно больших получим Тем самым лемма установлена.

Теорема 15.1. Если неотрицательные измеримые функции на то

Далее, если где

Здесь, как всегда, считаем, что

Доказательство. По лемме 15.1 построим последовательности простых функций при Тогда используя теорему 14.1 и утверждение 15.2, получим

Аналогично, используя утверждения 14.3 и 15.2, получим

а это и требовалось доказать.

Теорема 15.2. Пусть -конечное измеримое пространство, и пусть множество Тогда выполнены следующие утверждения:

1. Если измеримая функция на то и

2. Если мера полна, функция почти всюду на то и

Если здесь заранее потребовать измеримости функции то можно отказаться от условия полноты меры

3. Если функция то

Доказательство. 1. Очевидно из определения.

2. Достаточно доказать равенство интегралов для неотрицательных Функция измерима (только в этом месте мы пользуемся полнотой меры Пусть По условию теоремы Тогда по теореме 15.1 и уже доказанному пункту 1 получаем

а это и требовалось установить.

3. Снова рассмотрим случай, когда на Обозначим Предположим, что Тогда, полагая если в противном случае, определим простые функции при Поскольку при по определению интеграла Лебега имеем

что приводит к противоречию. Тем самым теорема доказана.

Утверждение 15.3. Если функция то для любого функция и

Доказательство. Согласно теореме 10.3 и замечанию 10.5 функция измерима на Отметим, кстати, что по третьему пункту теоремы 15.2 функция конечна почти всюду, а потому соглашения замечания 10.5 несущественны, если мера полна. Далее, если а то функция на а тогда

Пусть теперь Тогда Отметим, что если неотрицательная простая функция при то неотрицательная простая функция Поэтому

Для дело обстоит аналогично, откуда и получаем требуемое утверждение. Сходным образом рассматривается и случай

Теперь мы можем в полном объеме доказать важнейшую теорему о линейности интеграла Лебега по функции.

Теорема 15.3. Если функции то функция и

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда при Положим Тогда по теореме 15.1 и утверждению 15.3 имеем

Аналогично,

Из формул (15.1) и (15.2) следует, что и (см. теорему 15.1)

Теперь для произвольных интегрируемых функций теорема вытекает из уже доказанного равенства и из того, что

Следствие 15.1. Если функции а числа то функция и

Этот результат является непосредственным следствием утверждения 15.3 и теоремы 15.3.

Теорема 15.4. Пусть функция измерима на Тогда в том и только в том случае, когда

Доказательство. По определению в том и только в том случае, когда одновременно Далее, откуда по теореме 15.1 имеем

Из последнего равенства, с учетом неотрицательности входящих в него интегралов, видно, что в том и только в том

случае, когда одновременно что и требовалось доказать.

Замечание 15.1. Из определения интеграла Лебега видно, что если то

Теорема 15.5. Пусть функции измеримы на при Тогда функция и

В качестве важного частного случая здесь содержится утверждение, что интеграл Лебега от неотрицательной функции неотрицателен.

Доказательство. Из теоремы 15.4 следует, что достаточно доказать наше утверждение для неотрицательных функций Пусть простая неотрицательная функция при Тогда, тем более, при Поэтому

Переходя в левой части неравенства (15.3) к верхней грани по всем получаем утверждение теоремы.

Из только что доказанной теоремы вытекают такие широко используемые результаты.

Следствие 15.2. Если функция измерима на и для некоторой постоянной выполнено неравенство при то и

Следствие 15.3. Если функции то

В заключение этого параграфа приведем такой результат.

Утверждение 15.2. Пусть функция измерима на при Пусть также разбиение отрезка вида определим множества и число

Тогда если

то

Доказательство. Введем функцию

Тогда, очевидно, простая функция, и согласно определению 14.2

Далее, поскольку при выполнено неравенство по теореме 15.3 и следствию 15.2 получаем, что

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Замечание 15.2. Равенство (15.4) может быть принято за определение интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции на множестве конечной меры. Именно так определял интеграл А. Лебег (см., например, [14]).