§ 23. Полнота и некоторые другие свойства пространств Lp

Сначала дадим два определения.

Определение 23.1. Пусть линейное нормированное пространство, и пусть последовательность его элементов. Тогда эта последовательность называется фундаментальной, если для любого найдется такое что при любых выполняется неравенство Если же найдется такой элемент что

при то говорят, что является пределом последовательности тех случаях, когда рассматриваются различные определения предела, данный предел называется пределом по норме пространства

Очевидно, что любая последовательность элементов линейного нормированного пространства, имеющая предел, фундаментальна.

Определение 23.2. Пусть линейное нормированное пространство и любая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел. Тогда данное пространство называется полным.

Сейчас мы подробнее расмотрим вопрос о полноте пространств Предварительно установим один вспомогательный результат.

Лемма 23.1. Пусть -конечное измеримое пространство, фундаментальная последовательность элементов пространства Тогда существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел что подпоследовательность сходится почти всюду на X к конечной функции

Доказательство. Выберем последовательность таким образом, чтобы при Сначала рассмотрим случай Тогда (см. утверждение 22.1) где постоянная С зависит лишь от и от меры множества Рассмотрим ряд

Согласно следствию 16.2

а тогда по теореме функция конечна почти всюду на Это означает, что ряд

абсолютно сходится, а следовательно, сходится почти всюду на Поскольку при любом к частичная сумма этого ряда

совпадает с для множеств X с конечной мерой лемма установлена. Если же

где то, поскольку для любой функции и для любого натурального норма по Уже доказанному последовательность сходится почти всюду на к конечной функции Полагая функцию при завершаем доказательство леммы.

Теорема 23.1. Если (-конечное измеримое пространство и 1 то пространство является полным.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай Пусть последовательность фундаментальна в Тогда, применяя лемму 23.1, выделим из нее подпоследовательность сходящуюся почти всюду на X к конечной функции Доопределим нулем в тех точках, где сходимости нет. Тогда она будет измерима на Поскольку для почти всех при к из теоремы Фату (см. также замечание 16.1) следует, что функция Далее, если задано то можно выбрать так, что при будем иметь Учитывая, что почти всюду на при и снова применяя теорему Фату, получим, что при

Но в этом случае при имеем и теорема установлена.

Теперь рассмотрим случай Определим числа Пусть

По определению нормы в пространстве имеем при всех . Но тогда на множестве

рассматриваемая последовательность равномерно фундаментальна. Согласно известной теореме из курса

математического анализа, в этом случае на множестве последовательность равномерно сходится. Доопределив предельную функцию нулем на и учитывая, что завершим доказательство теоремы.

Следующая теорема устанавливает еще одно важное свойство пространств

Теорема 23.2. Пусть -конечное измеримое пространство и Тогда если функция измерима и неотрицательна на при то имеет место равенство

где через обозначена классическая мера Лебега на

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда функция простая, а именно

где множества попарно не пересекаются и имеют конечную меру. Тогда

и

Формально полагая будем иметь

и в этом случае требуемое равенство установлено. В общей ситуации построим, согласно лемме 15.1, последовательность неотрицательных простых функций на По теореме Беппо Леви

Далее, ясно, что последовательность не убывает на и по теореме о непрерывности меры

при Снова применяя теорему Беппо Леви, получим

Кроме того, как было установлено выше,

Из формул (23.1)-(23.3) вытекает утверждение теоремы.

Определение 23.3. Пусть линейное нормированное пространство и множество Тогда А называется всюду плотным в если для любого и для любого найдется такое что —

Рассмотрим более подробно важный случай, когда X является отрезком или прямой, классическая мера Лебега. В ряде вопросов очень важно бывает указать сравнительно простое всюду плотное множество в пространствах

Теорема 23.3. Пусть классическая мера Лебега. Тогда для в пространстве всюду плотными являются множества непрерывных на этом отрезке функций, многочленов и многочленов с рациональными коэффициентами. В пространстве всюду плотным является множество непрерывных финитных (т. е. обращающихся вне некоторого отрезка) функций.

Доказательство. Вначале рассмотрим Нам надо доказать, что для любой функции и для любого найдется такая непрерывная на функция

что Понятно, что этот факт достаточно установить для неотрицательных функций Далее, пусть на и Построив согласно лемме 15.1 последовательность неотрицательных простых функций на по теореме Лебега о предельном переходе получим, что

при Отсюда ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда функция простая. При этом из очевидных соображений можно считать, что где измеримое множество Построим согласно определению классической меры Лебега множество

так, чтобы При этом

Отсюда вытекает, что наша задача свелась к нахождению непрерывной функции, которая приближает характеристическую функцию данного интервала с заданной точностью Такой функцией является для достаточно малых непрерывная функция равная нулю вне единице на и линейная на оставшихся интервалах. Таким образом, установлена плотность множества непрерывных функций в

Применяя известную теорему Вейерштрасса о существовании для любой непрерывной функции на последовательности многочленов сходящейся к ней равномерно, а также очевидное неравенство

легко доказать, что и множество всех многочленов всюду плотно в По тем же причинам этим свойством обладают и многочлены с рациональными коэффициентами.

Перейдем теперь к рассмотрению пространств Из теоремы Лебега о предельном переходе вытекает, что

если то для достаточно большого будем иметь Кроме того, по уже доказанной части теоремы найдется такая непрерывная на функция что Взяв непрерывную на функцию

и выбрав достаточно малое будем иметь а это эквивалентно доказываемому утверждению.