§ 6. Непрерывность и полнота мер

Важными свойствами мер являются непрерывность и полнота.

Определение 6.1. Пусть на кольце задана конечная мера Пусть также для любой последовательности вложенных множеств где выполнено равенство

Тогда мера называется непрерывной.

Теорема 6.1. Заданная на кольце мера непрерывна тогда и только тогда, когда она -аддитивна.

Доказательство. Пусть -аддитивна и где множества вложены и Положим при Тогда

откуда

т. е. имеет место равенство (6.1).

Теперь пусть мера непрерывна и где Положим

Тогда Поэтому

Но это и означает, что

Теорема полностью доказана.

Замечание 6.1. Если мера -аддитивна на кольце то формула (6.1) остается справедливой и для ситуации, когда Это сразу устанавливается с помощью множеств при

Замечание 6.2. При доказательстве теоремы 6.1 не использовалась неотрицательность меры

Следствие 6.1. Если -конечная мера задано на некоторой -алгебре множества причем , то

Доказательство. Согласно утверждению 1.4 множе ство Далее, отметим, что совокупность множеств является кольцом, причем мера -адцитивна на и Теперь достаточно применить теорему 6.1.

Замечание 6.3. Пример последовательности множесп при показывает, что без условия конеч ности утверждение следствия 6.1, вообще говоря, невер но.

Отметим, что меры Лебега (конечная), Жордана и Борел являются непрерывными.

Определение 6.2. Заданная на кольце подмножесп некоторого множества X мера называется полной, если из то что и вытекает, что

Из определения мер Лебега и Жордана ясно, что они явля ются полными (мера Лебега и в -конечном случае). В то время ниже мы увидим, что мера Бореля не полна.