§ 31. Некоторые теоремы о коэффициентах Фурье

Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть задано конечное измеримое пространство и в соответствующем гильбертовом пространстве есть ортонормированная система состоящая из ограниченных функций, т. е. для некоторого имеем при всех Неравенство Бесселя и теорема Рисса—Фишера дают исчерпывающее описание поведения коэффициентов Фурье функций из гильбертова пространства. Однако в данном случае равномерная ограниченность функций из системы и конечность меры X дают возможность определить коэффициенты Фурье и для функций при равенством

Естественным образом возникает вопрос о возможности распространения теорем Бесселя и Рисса-Фишера и на случай Ответ дается следующей теоремой.

Теорема 31.1 (теорема Пэли). При упомянутых выше условиях выполнены следующие утверждения:

1. Если функция то

где постоянная зависит лишь от

2. Если числа таковы, что для некоторого

то найдется такая функция что при и частичные суммы при в пространстве Кроме того,

где постоянная из первой части теоремы.

Доказательство. 1. Пусть -аддитивная мера определена на подмножествах множества натуральных чисел, причем Определим оператор А, отображающий интегрируемые по Лебегу на X функции в последовательности, равенством По неравенству Бесселя

откуда А имеет сильный, а значит и слабый, тип с постоянной Докажем, что А также имеет слабый тип (1,1) с постоянной Пусть функция причем (иначе требуемое неравенство очевидно). Тогда при имеем

Но если таково, что то

откуда Поэтому

и нужное нам неравенство установлено. Применяя теорему получим, что

что и требовалось доказать.

2. Возьмем Определим для фиксированного натурального функцию

Поскольку система состоит из ограниченных функций, Теперь, применяя уже доказанную часть теоремы,

получим

Таким образом,

Отсюда очевидным образом следует, что последовательность фундаментальна в следовательно, найдется такая функция что при Тогда из оценки (31.1) вытекает, что

Наконец, если , то для любого имеем

Устремляя к бесконечности, получим, что и теорема полностью доказана.

Другой важной теоремой, описывающей поведение коэффициентов Фурье, является теорема Рисса. Для ее установления нам понадобится один вспомогательный результат из теории числовых рядов.

Лемма 31.1. Пусть числа при Тогда выполнены следующие утверждения.

1. Если , то

2. Если , то

Здесь положительные постоянные, зависящие лишь от соответственно.

Доказательство. Мы установим только первое неравенство, поскольку второе доказывается совершенно аналогично. С учетом того, что имеем

что эквивалентно доказываемому утверждению.

Отметим еще такой факт, представляющий самостоятельный интерес.

Утверждение 31.1. Коэффициенты Фурье функции по равномерно ограниченной ортонормированной системе стремятся к нулю.

Доказательство. Если все не превосходят по модулю то выберем для заданного простую функцию так, чтобы Тогда, очевидно для любого . В то же время согласно неравенству Бесселя, при Из этих двух наблюдений и вытекает справедливость нашего утверждения.

Теорема 31.2 (теорема Рисса). При условиях и обозначениях, сформулированных в начале параграфа, выполнены следующие утверждения.

1. Если и функция то

где постоянная зависит лишь от

2. Если числа таковы, что для некоторого

то найдется такая функция что при

где постоянная зависит лишь от

Доказательство. 1. В силу утверждения 31.1 можно так переставить ненулевые коэффициенты что их модули будут монотонно невозрастать. Обозначим получившуюся последовательность через Пусть также соответствующие функции из системы Тогда по лемме и теореме Пэли имеем

что и требовалось доказать.

2. Обозначим Из условия следует, что числа при Поэтому, как и при доказательстве пункта 1, можно рассмотреть последовательности По лемме получаем, что

Отсюда по теореме Пэли существует такая функция что при любом к справедливо равенство

при в пространстве и (см. (31.3)) выполняется неравенство (31.2). Таким образом, мы уже проверили, что если то Пусть таково, что Тогда функция не входит в систему а потому при всех Учитывая (31.4), отсюда несложно вывести, что и в этом случае Тем самым, теорема доказана.

Замечание 31.1. Для более подробно обсуждаемой в следующем параграфе тригонометрической системы теоремы 31.1 и 31.2 носят название теорем Харди-Литльвуда и Хаусдорфа-Юнга соответственно, по именам математиков, установивших их для упомянутой системы до того, как были получены теоремы Пэли и Рисса.