Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 31. Некоторые теоремы о коэффициентах ФурьеРассмотрим следующую ситуацию. Пусть задано конечное измеримое пространство
Естественным образом возникает вопрос о возможности распространения теорем Бесселя и Рисса-Фишера и на случай Теорема 31.1 (теорема Пэли). При упомянутых выше условиях выполнены следующие утверждения: 1. Если
где постоянная 2. Если числа
то найдется такая функция
где Доказательство. 1. Пусть
откуда А имеет сильный, а значит и слабый, тип
Но если
откуда
и нужное нам неравенство установлено. Применяя теорему
что и требовалось доказать. 2. Возьмем
Поскольку система получим
Таким образом,
Отсюда очевидным образом следует, что последовательность
Наконец, если
Устремляя Другой важной теоремой, описывающей поведение коэффициентов Фурье, является теорема Рисса. Для ее установления нам понадобится один вспомогательный результат из теории числовых рядов. Лемма 31.1. Пусть числа 1. Если
2. Если
Здесь Доказательство. Мы установим только первое неравенство, поскольку второе доказывается совершенно аналогично. С учетом того, что
что эквивалентно доказываемому утверждению. Отметим еще такой факт, представляющий самостоятельный интерес. Утверждение 31.1. Коэффициенты Фурье функции Доказательство. Если все Теорема 31.2 (теорема Рисса). При условиях и обозначениях, сформулированных в начале параграфа, выполнены следующие утверждения. 1. Если
где постоянная 2. Если числа
то найдется такая функция
где постоянная Доказательство. 1. В силу утверждения 31.1 можно так переставить ненулевые коэффициенты
что и требовалось доказать. 2. Обозначим Из условия следует, что числа
Отсюда по теореме Пэли существует такая функция
при Замечание 31.1. Для более подробно обсуждаемой в следующем параграфе тригонометрической системы теоремы 31.1 и 31.2 носят название теорем Харди-Литльвуда и Хаусдорфа-Юнга соответственно, по именам математиков, установивших их для упомянутой системы до того, как были получены теоремы Пэли и Рисса.
|
1 |
Оглавление
|