§ 25. Абсолютно непрерывные функции на отрезке

Определение 25.1. Пусть функция . Тогда будем говорить, что функция абсолютно непрерывна на если для любого найдется такое что для любой такой системы непересекающихся интервалов из отрезка что

выполнено неравенство

Замечание 25.1. Очевидно, что если функция то непрерывна на отрезке

Теорема 25.1. Пусть функции некоторые числа. Тогда Если, вдобавок, функция не обращается в нуль на то и функция

Доказательство. Доказательство данного утверждения фактически не отличается от доказательства теоремы 24.2. Отметим лишь, что при доказательстве абсолютной непрерывности функции надо использовать тот факт, что, поскольку функция не обращается в нуль на и является непрерывной на этом отрезке, найдется такое что при всех

Теорема 25.2. Пусть функция а функция и монотонна на этом отрезке, причем Тогда композиция

Доказательство. Для определенности будем считать, что функция монотонно неубывает на Пусть задано Выберем такое что для любой такой системы непересекающихся интервалов из отрезка что

выполнено неравенство

Далее, воспользовавшись абсолютной непрерывностью функции подберем такое что для любой такой системы непересекающихся интервалов из отрезка что

выполнено неравенство

Отметим, что для любой такой системы все невырожденные интервалы из множества попарно не пересекаются. Поэтому (см. оценки (25.1) и (25.2))

т. е. функция , что и требовалось доказать.

Чуть ниже будет приведен пример, показывающий, что без условия монотонности функции теорема 25.2, вообще говоря, неверна.

Связь между абсолютно непрерывными функциями и функциями ограниченной вариации проясняется следующим результатом.

Утверждение 25.1. Если функция то

Доказательство. Возьмем и подберем соответствующее из определения абсолютной непрерывности. Далее, выберем натуральное так, чтобы выполнялось неравенство Пусть некоторое разбиение отрезка Добавим к этому разбиению те точки набора которые не входят в и полученное разбиение обозначим через Но тогда

откуда что и требовалось доказать.

Замечание 25.2. Как показывает пример кривой Кантора, не всякая функция ограниченной вариации является абсолютно непрерывной.

Замечание 25.3. Пусть функция при а непрерывная на отрезке [0, 1] функция имеет вид

Нетрудно показать, что обе эти функции абсолютно непрерывны (впрочем, это проще вывести из результатов следующего параграфа), в то время как композиция даже не является функцией ограниченной вариации.

Пусть функция Тогда, согласно утверждениям 24.1 и 25.1, справедливо представление где функции монотонно неубывают на отрезке причем при . В дальнейшем будет использовано следующее наблюдение.

Утверждение 25.2. Если функция то и функции

Доказательство. В силу теоремы 25.1 достаточно установить абсолютную непрерывность функции Пусть задано Подберем соответствующее из определения абсолютной непрерывности функции Рассмотрим такую систему непересекающихся интервалов из отрезка что

Для любого к подберем разбиение отрезка так, чтобы

Тогда, поскольку интервалы системы попарно не пересекаются, а сумма их длин не превосходит , имеем

что эквивалентно доказываемому утверждению.

Для дальнейшего нам понадобится еще одно определение.

Определение 25.2. Пусть функция классическая мера Лебега на прямой. Тогда будем говорить, что функция обладает на -свойством Лузина, если для любого такого измеримого множества что множество также измеримо и

Полезность введенного определения можно продемонстрировать следующей теоремой.

Теорема 25.3. Пусть функция непрерывна на Тогда для того, чтобы образ любого измеримого относительно меры множества был измерим относительно той же меры, необходимо и достаточно, чтобы функция обладала -свойством Лузина на отрезке

Доказательство. Пусть, вначале, функция непрерывна на и обладает -свойством на этом отрезке, а множество измеримо относительно классической меры Лебега Тогда, согласно следствию 9.1,

где все множества замкнуты, а Но в этом случае

В силу непрерывности функции все множества замкнуты, а так как обладает -свойством, множество измеримо. Поэтому измеримо и множество

Предположим теперь, что для любого измеримого множество также измеримо. Допустим, что при этом найдется такое что Выделим, согласно теореме 7.1, неизмеримое множество и пусть полный прообраз множества В в есть Тогда А измеримо, а множество неизмеримо. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 25.4. Если функция то она обладает -свойством Лузина на отрезке

Доказательство. Пусть множество и Для заданного подберем из определения

абсолютной непрерывности. Согласно следствию 9.1 найдется открытое множество с мерой По теореме 9.2 это множество можно представить в виде

Пусть при образ Ясно, что при этом интервалы попарно не пересекаются и

Но поскольку

мы имеем

Ввиду произвольности числа отсюда вытекает, что что и требовалось доказать.

Таким образом, абсолютно непрерывные на отрезке функции непрерывны, имеют ограниченную вариацию и обладают -свойством. Оказывается, что справедливо и обратное утверждение. Для его доказательства понадобится один вспомогательный результат о функциях ограниченной вариации. Предварительно дадим соответствующее определение.

Определение 25.3. Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда ее индикатрисой Банаха называется функция определенная на отрезке где и равная числу корней уравнения на отрезке может принимать и значение .

Лемма 25.1. Если непрерывная функция то индикатриса Банаха

Доказательство. Рассмотрим для произвольного натурального промежутки

при Пусть Заметим, что

Далее, рассмотрим при функции

Иными словами, Ясно, что

Определим функцию

Из способа разбиения отрезка на отрезки видно, что для любого натурального и для любого

Теперь если в некоторой точке индикатриса Банаха то для достаточно большого все прообразы точки у попадут в разные отрезки а потому для Если же то при Таким образом, последовательность на Поскольку (см. (25.3))

применив следствие 16.1, убеждаемся в справедливости леммы.

Теорема 25.5 (теорема Если непрерывная на отрезке функция ограниченной вариации, обладающая -свойством Лузина, то

Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно. Тогда найдется такое что для любого натурального существует такая система попарно непересекающихся интервалов из отрезка что

в то время как

Положим При введем множества

Из условия (25.4) вытекает, что а тогда и

Как и при доказательстве леммы 25.1, рассмотрим при функции

При этом (см. следствие 16.2 и формулу

Отметим, что при любом имеем (см. лемму 25.1) где индикатриса Банаха функции Пусть при Поскольку имеем

Пусть Тогда найдется подпоследовательность при Следовательно, для любого к

найдется такое что Так как а стало быть, среди точек может быть лишь конечное число различных. Поэтому по крайней мере одна из них (которую мы обозначим через а) принадлежит бесконечному числу множеств из последовательности Но тогда а откуда Отсюда имеем

Таким образом, для почти всех Учитывая ограниченность сверху этих функций индикатрисой Банаха, по теореме Лебега будем иметь

что противоречит неравенству (25.6). Отсюда вытекает справедливость утверждения теоремы.