§ 30. Интерполирование линейных операторов в функциональных пространствах

Теория линейных операторов в банаховых пространствах является одной из наиболее интересных и хорошо развитых областей функционального анализа. Не ставя задачу дать ее сколько-нибудь полное изложение, мы приведем лишь некоторые определения и установим простейшие свойства, необходимые для дальнейшего.

Пусть два линейных нормированных пространства над одним и тем же полем К. Здесь, как и ранее, считаем, что или

Определение 30.1. Линейным оператором из в называется такое отображение что для любых и для любых выполнено равенство

Определение 30.2. Пусть А — линейный оператор из Тогда А называется непрерывным в точке если для любого найдется такое что при имеем

30.1. Из линейности оператора А вытекает, что его непрерывность в некоторой точке эквивалентна непрерывности А в любой точке. Поэтому в дальнейшем мы будем вести речь просто о непрерывных операторах. Не останавливаясь подробно на этом вопросе, отметим также, что построение разрывных линейных операторов, как правило, не вызывает труда, когда пространство не полно, но требует привлечения аксиомы выбора в противном случае.

Определение 30.3. Пусть А — линейный оператор из Тогда он называется ограниченным, если величина

Утверждение 30.1. Пусть А — линейный оператор из Тогда его непрерывность и ограниченность эквивалентны.

Доказательство. Пусть А ограничен. Тогда для заданного возьмем . В этом случае при имеем т. е. А непрерывен.

Обратно, пусть А непрерывен. Подберем такое что при выполнено неравенство Тогда если и то

Следовательно, А ограничен и утверждение доказано.

В дальнейшем будет рассматриваться такая ситуация. Пусть даны два -конечных измеримых пространства а линейное отображение А переводит некоторое подмножество пространства -измеримых комплекснозначных

функций на в пространство -измеримых комплекснозначных функций на Положим для любого и для любой функции из области определения А

Определение 30.4. Пусть Говорят, что рассмотренный выше оператор А имеет сильный тип если он является непрерывным оператором из Далее, если для любого и для любой функции выполнено неравенство

где зависит только от то говорят, что А имеет слабый тип

Утверждение 30.2. Если А имеет сильный тип то А имеет и слабый тип причем в качестве можно взять

Доказательство. Используя неравенство Чебышева, получим, что для любого

что и требовалось доказать.

Теорема 30.1 (частный случай интерполяционной теоремы Марцинкевича). Пусть и оператор А имеет одновременно слабый тип и с постоянными соответственно. Тогда для любого из интервала имеет сильный тип причем

а постоянная К зависит только от и ограничена при

Доказательство. Рассмотрим для произвольной измеримой на функции функцию распределения при где

Аналогичные функции будем рассматривать и для второго измеримого пространства. Мы будем пользоваться обозначениями для норм в пространствах и соответственно.

Согласно теореме 23.2 при любом имеем

где через обозначена классическая мера Лебега на Пусть Положим где

Тогда при любом либо либо откуда в то время как Следовательно, определено

Обозначим через функции распределения для соответственно. Тогда

Для фиксированного которое будет определено позднее и будет зависеть от у, положим где

Тогда при всех Пусть функции распределения для соответственно. Так как для любого выполнено неравенство если то либо либо Поэтому, используя условие теоремы, получаем, что

По определению функции имеем при при при Учитывая (30.1) и (30.2), получаем

Здесь интегрируются неотрицательные функции, измеримость которых как функций двух переменных очевидна. По теореме Фубини мы имеем право изменить порядок интегрирования. Кроме того, положим

откуда

Теперь если взять то, учитывая, что при всех получим

что и требовалось доказать.