§ 13. Сходимость почти всюду

В этом параграфе снова будем предполагать, что измеримые и конечные на измеримом пространстве функции.

Определение 13.1. Говорят, что последовательность сходится к почти всюду на X при если найдется такое множество что при для любого

Замечание 13.1. В приведенном определении (так же как и ранее, в определении сходимости по мере) можно считать, что все конечны лишь почти всюду на . В этом случае надо положить

и проводить все рассуждения для Кроме того, если мера полна, то можно не требовать заранее измеримости функции

Лемма 13.1. Пусть при Тогда

Доказательство. Точка в том и только в том случае, когда Но последнее по определению означает, что для некоторого при любом найдется такое что Переходя к формальной записи этого утверждения, устанавливаем справедливость леммы.

Теорема 13.1. Пусть Тогда последовательность почти всюду на X в том и только в том случае, когда для любого выполнено равенство

Доказательство. Достаточно установить, что сходимость почти всюду эквивалентна тому, что для любого натурального

В обозначениях леммы 13.1 сходимость почти всюду на X эквивалентна тому, что или

Но это, в свою очередь, равносильно тому, что для любого выполнено равенство

Определим для фиксированного множества при всех Тогда Для завершения доказательства остается только заметить, что по теореме о непрерывности меры

Следствие 13.1. Если и последовательность функций почти всюду на X, то

Замечание 13.2. Пример последовательности функций на показывает, что без условия теорема 13.1 и следствие 13.1, вообще говоря, неверны.

Может возникнуть вопрос: не эквивалентны ли понятия сходимости функциональных последовательностей по мере и почти всюду на множествах конечной меры? Следующая теорема дает отрицательный ответ на этот вопрос.

Теорема 13.2 (пример Рисса). Существует последовательность, сходящаяся по мере на отрезке [0, 1], но не сходящаяся почти всюду.

Доказательство. Для положим

Отметим, что для любого натурального существует единственная такая пара что та к Определим функции при Тогда

при откуда . В то же время в любой точке отрезка [0, 1] бесконечно много членов последовательности равно и бесконечно много членов этой последовательности равно 1, откуда ясно, что сходимости нет ни в одной точке.

Тем не менее справедлив следующий результат.

Теорема 13.3 (теорема Рисса). Пусть -конечное измеримое пространство и последовательность на Тогда существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел что почти всюду на

Доказательство. Сначала предположим, что Возьмем и для выберем натуральное так, чтобы

Докажем, что последовательность почти всюду на Действительно, если заданы то подберем так, чтобы Тогда при имеем

Применяя теорему 13.1, убеждаемся в справедливости доказываемого утверждения.

Пусть теперь мера -конечна на X, т. е. где при Поскольку на X, для любого последовательность на Согласно уже доказанному, можно выделить подпоследовательность почти всюду на Поскольку эта подпоследовательность по-прежнему сходится по мере на любом из нее, в свою очередь, можно выделить подпоследовательность почти всюду на Продолжая этот процесс дальше, и рассматривая диагональную последовательность видим, что для любого эта последовательность сходится почти всюду на т. е. почти всюду на X, что и требовалось доказать.

Чрезвычайно важным является следующий результат, проясняющий взаимосвязь между сходимостью почти всюду и равномерной сходимостью.

Теорема 13.4 (теорема Егорова). Если и последовательность функций почти всюду на X, то для любого найдется такое измеримое множество Ее С X, что и последовательность сходится равномерно на Ее.

Доказательство. Из теоремы 13.1 следует, что для каждого найдется такое что

Положим

Тогда

Если теперь задано некоторое то, выбирая натуральное так, чтобы получим, что при

для любого Ее, а это и требовалось установить.

Замечание 13.3. Пример последовательности функций из замечания 13.2 показывает, что без условия теорема Егорова, вообще говоря, неверна.

Одним из важнейших результатов, устанавливаемых с помощью теоремы Егорова, является теорема Лузина о взаимосвязи понятий непрерывности и измеримости на отрезках в Она будет установлена ниже.