§ 8. Прямые произведения мер

В данном параграфе будет изложена важная конструкция прямого произведения мер, которая позволяет ввести меру на подмножествах прямого произведения если нам заданы меры на полукольцах подмножеств

Определение 8.1. Если два множества, то положим Если — две системы множеств, то

Теорема 8.1. Если полукольца, то и полукольцо.

Доказательство. Очевидно, что Пусть где Тогда Наконец, если то Отсюда существуют такие что

Поэтому

а это и надо было установить.

Определение 8.2. Пусть конечные меры, заданные на полукольцах соответственно. Тогда назовем их прямым произведением функцию, заданную на полукольце формулой где

Теорема 8.2. Функция является мерой на

Доказательство. Неотрицательность очевидна. Пусть

Тогда по лемме 1.2 существуют такие наборы попарно непересекающихся множеств что множества при при представляются в виде дизъюнктных объединений некоторых соответственно. Пусть

При этом

Тем самым,

откуда ясно, что при любых фиксированных целых и найдется такое единственное что Тогда

Доказательство закончено.

Ниже, в § 21, будет установлено, что если меры -аддитивны, то -аддитивной будет и мера