§ 5. «сигма»-конечные меры. Мера Лебега на Rn

Пусть на полукольце подмножеств некоторого множества X задана -аддитивная мера где при Продолжим до -аддитивной меры на минимальном кольце Заметим, что где при Для любого система кольцо с единицей -аддитивная мера на нем. Продолжим ее по Лебегу до -аддитивной меры заданной на -алгебре

Определение 5.1. Множество называется измеримым, если для любого множество При этом положим

(в этом равенстве допускаются и бесконечные значения).

Теорема 5.1. Совокупность всех измеримых подмножеств X является -алгеброй.

Доказательство. Прежде всего отметим, что Далее, если то при любом выполнены условия откуда Поэтому

Для бесконечного объединения множеств из доказательство аналогично.

Теорема 5.2. Функция -аддитивна на (и здесь в определении -аддитивности допускаются бесконечные значения в обеих частях равенства).

Доказательство. Пусть где Тогда в силу -аддитивности мер имеем

что и требовалось доказать.

Определение 5.2. Определенная выше функция называется -конечной мерой на

Таким образом, построена -конечная -аддитивная мера Лебега. Однако было бы нехорошо, если бы эта мера зависела от первоначального представления Докажем, что это не так.

Предположим, что, взяв за основу иное представление и проведя описанные выше построения, мы получим другую -аддитивную меру заданную на -алгебре

Лемма 5.1. Пусть для некоторых множество а множество Тогда

Доказательство. Лемма сразу следует из того, что на меры являются лебеговскими продолжениями меры с кольца а потому

Теорема 5.3. Мера задана корректно, т. е.

Доказательство. Пусть Тогда для любых таких что множество При этом

С другой стороны, по лемме 5.1 множество Тогда

а это и нужно было доказать.

Наиболее важным случаем построеннной выше меры является классическая мера Лебега на построенная исходя из стандартной меры на полукольце промежутков.