ГЛАВА 5. ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ И АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 24. Функции ограниченной вариации на отрезке

Определение 24.1. Пусть отрезок и функция Тогда для любого разбиения отрезка положим

Если величина

то будем говорить, что функция ограниченной вариации на отрезке

Замечание 24.1. Ясно, что если то функция ограничена на отрезке точнее, для любого имеем

Теоре Если функция причем

Доказательство. Если разбиения отрезков и соответственно, то будет разбиением отрезка При этом, очевидно, Ввиду

произвольности разбиений отсюда вытекает, что и

С другой стороны, пусть разбиение Образуем разбиение добавив к разбиению точку с, если она не входила в либо взяв в противном случае. Разбиение представляет собой объединение разбиений отрезков и соответственно. Поэтому

Так как разбиение произвольно, отсюда и из оценки (24.1) вытекает утверждение теоремы.

Очевидно, что если функция монотонна на отрезке то Оказывается, что класс функций ограниченной вариации на отрезке не слишком далек от класса монотонных на этом отрезке функций.

Утверждение 24.1. Если функция где функции монотонно неубывают на отрезке При этом можно считать, что при

Доказательство. Прежде всего отметим, что по теореме 24.1 функция монотонно неубывает на Далее, если то по теореме 24.1

что и завершает доказательство.

Теорема 24.2. Пусть функции некоторые числа. Тогда При этом

Если, вдобавок, для некоторой постоянной имеем при то и функция причем

Доказательство. Введем разбиение Тогда

Переходя в левых частях оценок (24.3) и (24.4) к верхним граням по всевозможным разбиениям установим два первых утверждения теоремы.

Далее, если С при то

откуда сразу следует неравенство (24.2).

Теорема 24.3. Пусть и точка Тогда непрерывность функции в точке равносильна непрерывности в этой точке функции

Доказательство. Если непрерывна в точке то, поскольку

функция также непрерывна в этой точке.

Пусть теперь функция непрерывна в точке Возьмем произвольное Дадим оценку разности считая для определенности, что Возьмем такое

разбиение отрезка что

Теперь выберем такое что и если то Тогда при таких имеем

что и требовалось доказать.

Теперь перейдем к доказательству теоремы о дифференцировании функции ограниченной вариации. Нам понадобятся вспомогательные утверждения, в которых будет говориться о верхних и нижних производных монотонной функции (по поводу определения этих производных см. теорему 10.5). Под будет пониматься классическая мера Лебега.

Утверждение 24.2. Если функция монотонно неубывает на то при любом выполнены неравенства

Данное утверждение очевидно.

Лемма 24.1. Пусть функция строго возрастает на множество число и для любого выполнено неравенство Тогда где внешняя мера.

Доказательство. Возьмем произвольные числа и пусть такое открытое подмножество что Далее, для любой точки найдется последовательность отличных от нуля чисел при что

при всех Для упрощения записи предположим,что при всех Мы можем также считать, что все настолько малы, что отрезок Пусть при

и Так как функция строго возрастает, все отрезки невырожденные. Поскольку для всех множество отрезков покрывает образ в смысле Витали. По теореме Витали можно выделить не более, чем счетное число попарно непересекающихся отрезков так, чтобы

Отметим, что при этом попарно не пересекаются и отрезки Поэтому

В силу произвольности отсюда следует утверждение леммы.

Лемма 24.2. Пусть число функция строго возрастает на множество в каждой точке множества функция непрерывна и Тогда где внешняя мера.

Доказательство. Возьмем произвольные числа и и пусть такое открытое множество, что Для любой точки найдется такая последовательность отличных от нуля чисел при что

при всех Снова предположим, что при всех Как и при доказательстве предыдущей леммы, введем следующие обозначения: . В силу непрерывности функции в точках множества мы можем считать, что все Далее, множество отрезков

покрывает в смысле Витали. По теореме Витали можно выделить не более чем счетное число попарно непересекающихся отрезков так, чтобы

Так как функция строго возрастает, отрезки также попарно не пересекаются. Тогда

Так как числа произвольны, отсюда получаем утверждение леммы.

Теорема 24.4. Если функция монотонно неубывает на то почти всюду на существует конечная производная причем

При этом мы, разумеется, считаем, что функция произвольным образом доопределена в тех точках, где она не существует.

Доказательство. Рассмотрим функцию при Тогда строго возрастает на Пусть множество точек непрерывности функции на Тогда множество не более чем счетно. Обозначим через совокупность всех положительных рациональных чисел и введем в рассмотрение множества при любых таких что

Если то согласно лемме 24.2 имеем для любого что невозможно. Следовательно, множество измеримо и Далее, согласно леммам 24.1 и 24.2 при любых имеем

что возможно только при Поскольку множество точек недифференцируемости функции на имеет вид

получаем равенство т. е. функция дифференцируема почти всюду на Поэтому и функция дифференцируема почти всюду на

Продолжим функцию на всю прямую, положив при при Введем функции при и Эти функции неотрицательны и почти всюду на Кроме того,

Применив теорему Фату, получим, что и выполняется оценка (24.5).

24.1. Если функция то почти всюду на существует конечная производная

Замечание 24.2. Пример кривой Кантора на отрезке [0,1] показывает, что в формуле (24.5) неравенство, вообще говоря, нельзя заменить на равенство.