§ 27. Интегралы Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса

Определение 27.1. Пусть функции Для произвольного разбиения отрезка с отмеченными точками при построим интегральную сумму

Если существует конечный предел

где параметр разбиения то число I называется интегралом Римана-Стилтьеса от а до функции по функции и обозначается

В тех случаях, когда это не может привести к путанице, буквы перед интегралом будем опускать.

Ясно, что классический интеграл Римана есть частный случай интеграла Римана-Стилтьеса, когда функция

Далее, из определения очевидно, что интеграл Римана—Стилтьеса линеен как по функции так и по функции точнее, если и существуют интегралы

то существует и интеграл

а если существуют интегралы

то существует и интеграл

Утверждение 27.1. Если существует интеграл

то существуют и интегралы

причем

Доказательство. Пусть задано По условию существует такое что для любых двух таких разбиений

и отрезка с отмеченными точками, что выполнено неравенство Теперь если два разбиения отрезка с отмеченными точками и то дополним их одними и теми же точками до разбиений и отрезка так, чтобы выполнялась оценка . В этом случае

Применяя критерий Коши, получим, что существует

Существование интеграла по отрезку устанавливается совершенно аналогично, а равенство (27.1) очевидно. Интересно, что обратное утверждение неверно. Замечание 27.1. Если взять функции

и

то, как нетрудно видеть, существуют интегралы

в то время как интеграл

не существует.

Следующая теорема выражает одно любопытное свойство интеграла Римана-Стилтьеса.

Теорема 27.1 (формула интегрирования по частям). Если существует интеграл

то существует и интеграл

причем

Доказательство. Пусть разбиение отрезка с отмеченными точками при Тогда имеем

Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть не что иное, как где разбиение отрезка с отмеченными точками при где формально возьмем Ясно, что Поэтому существует

что и требовалось доказать.

Установим одно достаточное условие существования интеграла Римана-Стилтьеса, обобщающее соответствующее условие для интеграла Римана.

Теорема 27.2. Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда существует интеграл

причем

Доказательство. Пусть задано Пользуясь равномерной непрерывностью функции на отрезке подберем так, чтобы при и выполнялось неравенство

Пусть два такие разбиения отрезка с отмеченными точками, что Объединяя точки разбиений составим разбиение и произвольным образом выберем для него отмеченные точки. Пусть Тогда

При этом

Поскольку такая же оценка справедлива и для получаем отсюда, что

Применяя критерий Коши, убеждаемся в существовании интеграла. Поскольку, очевидно, для любого разбиения имеем справедливо и неравенство (27.2). Теорема установлена.

Теперь дадим определение интеграла Лебега-Стилтьеса. Пусть функция Представим ее в виде разности

двух неубывающих функций: где

Переопределим в случае необходимости функции в точках разрыва так, чтобы они стали непрерывны слева на интервале Тогда согласно результатам § 4 каждая из этих функций порождает измеримое пространство с мерой соответственно. Отметим, что обе эти меры определены на -алгебре Определим заряд

Определение 27.2. Пусть функция измерима на пространстве Тогда назовем ее интегрируемой по Лебегу-Стилтьесу относительно заряда в том случае, когда одновременно Если эти условия выполнены, то положим

Из определения ясно, что свойства интегралов Лебега—Стилтьеса определяются свойствами интеграла Лебега.

Совершенно аналогично, используя понятие меры Лебега—Стилтьеса для можно и для этого случая определить интеграл Лебега-Стилтьеса. Подробное изложение этой теории можно найти в книге Г. П. Толстова [13].